Mathématiques pour physiciens : TD n˚1 Probabilités

Licence de Physique, FIP
Mathématiques pour physiciens : TD n˚1
Probabilités - I
Amir Kashani-Poor & Sylvain Nascimbene
1
Formule de Poincaré
On considère deux événements A1 et A2 . A1 ∪ A2 peut s’écrire comme la réunion de deux
évenements disjoints : A1 ∪ A2 = A1 ∪ (A2 \ A1 ∩ A2 ).
1. En déduire la formule
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ).
2. Exprimer d’une façon similaire A1 ∪ A2 ∪ A3 , en déduire une formule pour P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ).
3. Soient n ∈ N et A1 , . . . , An des événements quelconques. Montrer que l’on a
!
n
n
[
X
X
P
Ai =
(−1)k+1
P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ).
i=1
k=1
(1)
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
On utilisera pour cette démonstration les variables aléatoires indicatrices des événements
Ai :
1Ai : Ω → R
(
1
ω 7→
0
si ω ∈ Ai
si ω ∈
/ Ai
ainsi que le fait que ∪i Ai = Ω \ [∩i (Ω \ Ai )].
P
On définit maintenant Sk ≡ 1≤i1 <i2 <...<ik ≤n P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ). Ainsi le terme de droite
n
X
(−1)k+1 Sk . Par ailleurs, l’ensemble des éléments appartenant
dans la formule (1) se réécrit
k=1
à exactement m événements parmi (A1 , . . . , An ) est noté Gm .
4. On cherche à démontrer la formule (1) par une méthode constructive. Soit un élément de
Gm , montrer qu’il contribue de la même façon à gauche et à droite du signe égal dans
l’équation (1). Conclure.
5. Montrer par un raisonnement similaire que
m+1
m+2
n
PGm = Sm −
Sm+1 +
Sm+2 − . . . ±
Sn
m
m
m
(2)
6. Un jeu de N cartes, initialement ordonné, est rebattu de manière aléatoire. Quelle est
la probabilité qu’au moins une des cartes se retrouve à la même position ? Que vaut-elle
lorsque N → +∞ ? Quelle est la vitesse de convergence ?
Que dire de la probabilité d’avoir exactement m cartes à la même position ?
2
Paradoxe de Bertrand et composition de variables
Proposé en 1888 par Joseph Bertrand, ce paradoxe avait pour but de critiquer l’utilisation
des probabilités pour des variables continues.
Le problème est le suivant : on tire au hasard une corde entre deux points d’un cercle, quelle
est la probabilité pour qu’elle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ? Nous
allons faire le calcul de trois façons différentes.
1. Les deux points du cercle définissant la corde sont tirés au hasard. Quelle probabilité
obtient-on pour le problème ci-dessus ?
2. La direction de la corde et la distance au centre du cercle sont choisies aléatoirement.
Même question.
3. Le point milieu de la corde est choisi aléatoirement à l’intérieur du cercle. Même question.
Pourquoi y-a-t’il un paradoxe ? Comment le résout-on ? Déterminer en particulier les densités
de probabilité des cas 2 et 3 en supposant la densité uniforme du cas 1.
3
Inégalité de Tchebychef
L’inégalité de Tchebychev est très utilisée en probabilités, ainsi que ses versions dérivées.
Elle permet notamment de majorer l’importance des événements rares.
1. Montrer que si une variable aléatoire X admet un second moment E(X 2 ), alors
P{|X| ≥ t} ≤
E(X 2 )
t2
pour t > 0.
En déduire que si E(X) = m et Var(X) = σ 2 , alors
P{|X − m| ≥ t} ≤
σ2
.
t2
De façon plus générale, on peut construire des majorations ou minorations de probabilités faisant
intervenir des moments de la variable aléatoire.
4. Montrer que pour une variable centrée X de variance σ 2 ,
P{X > t} ≤
σ2
σ 2 + t2
pour t > 0.
On utilisera la fonction u(x) = (x + c)2 où c > 0.
5. En utilisant le même genre de méthode, montrer que pour une v.a. X positive, telle que
E(X) = 1 et E(X 2 ) = b,
P{X > a} ≥
(1 − a)2
b
pour 0 < a < 1.
En déduire que pour une v.a. vérifiant E(X 2 ) = 1 et E(X 4 ) = M ,
P{|X| > a} ≥
(1 − t2 )2
M
pour 0 < t < 1.