TD 2 - Marie-Pierre Dargnies

Exercices sur les variables aléatoires
Exercice 1
Le classement des 7 filiales d’une entreprise en fonction de leur chiffre d’affaire sera connu en fin d’année.
4 de ces filiales sont gérées par Monsieur N, les 3 autres étant gérées par Monsieur B. Soit X le rang de
la première filiale gérée par Monsieur N (c’est-à-dire le rang de la meilleure filiale gérée par N).
1. Calculer X(Ω) et la loi de probabilité de X.
2. Calculer la fonction de répartition de X.
3. Calculer son espérance et sa variance.
Exercice 2
La fonctionde répartition de la variable aléatoire X est donnée par :
0
si b < −1




1

si −1 ≤ b < 1

8



 2
si 1 ≤ b < 2
5
F (b) =
4
si 2 ≤ b < 3

7


 9

si 3 ≤ b < 6

10



 1
si b ≥ 6
1. Calculer P (X > 7), P ( 12 < X ≤ 32 ), P (− 12 < X ≤ 98 )etP (X ≤ −2).
2. Déterminer la loi de probabilité de X.
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire discrète dont la loi est donnée par :
5
5
P (X = −3) = a, P (X = −2) = 32
, P (X = −1) = b, P (X = 0) = 16
, P (X = 1) = c; P (X = 2) =
1
5
On sait que E(X) = − 2 etV (X) = 4
1
32
1. Déterminer, a, b et c.
2. Calculer E[3 + 2X], E[(3 + 2X)2 ] et, de deux manières différentes, V (3 + 2X).
Exercice 4
La F l’application
définie sur R par :

a
si x < b




 13 x − 13 si x ∈ [b, c[
4
16
F (x) =
1 2
x + 34 si x ∈ [c, d[

4



 e
si x ≥ d
On suppose que a, b, c, d, e sont des réels.
1. A quelles condictions sur a, b, c, d, e, F peut-elle être considérée comme la fonction de répartition
d’une variable X absolument continue ?
2. Calculer alors la densité de probabilité f et E(X).
Exercice 5
La demande quotidienne s’adressant à une boulangerie (en milliers d’unités) est une variable de densité :
1
(
f (x) =
4(1 − x)3
si
0
sinon
0<x<1
1. Déterminez la fonction de répartition de X.
2. Combien d’unités le boulanger doit-il produire pour que la probabilité de ne pas pouvoir satisfaire tous
les clients soit de 1% ?
3. Si le prix de la baguette est de 1 e, quel est le bénéfice journalier moyenréalisé par la boulangerie ?
Exercice 6
En se basant sur les 30 dernières années, on a observé dans une usine qu’une panne de la chaı̂ne de
montage survenait en moyenne 3 fois par an. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait plus de 3 pannes
sur la chaı̂ne de montage cette année ?
Exercice 7
4 pièces défectueuses et 8 pièces conformes ont été produites dans une usine. Un employé choisit 3 pièces
au hasard. On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de pièces défectueuses obtenues.
1. Trouver la loi de X quand les 3 pièces ont été tirées simultanément. Combien obtient-on de pièces
défectueuses en moyenne ?
2. Trouver la loi de X quand les 3 pièces ont été tirées successivement et avec remise entre chaque tirage.
Combien obtient-on de pièces défectueuses en moyenne ?
Exercice 8
En faisant une étude de marché concernant le lancement prochain d’une nouvelle boisson, on a pu établir
que 4,75% des consommateurs auraient une demande supérieure à 30 litres par an et que pour 74,93% des
consommateurs, la demande serait comprise entre 15 et 30 litres. On choisit un consommateur au hasard
et on appelle X sa demande pour cette nouvelle boisson. On suppose que X suit une loi N (m, σ)
1. Calculer m et σ.
2. Quel pourcentage de consommateur aura une demande supérieure à 24,02 litres ?
Exercice 9
2000 palettes de produits sortent d’une usine avec une moyenne de 2 produits ne respectant pas une
certaine norme (et étant donc invendables) par palette. Le propriétaire d’un magasin a commandé une
palette et on note X le nombre de produits invendables contenus dans sa palette. On sait que ce client
renverra sa palette si elle contient plus de 7 produits invendables.
1. Montrer qu’on peut considérer que X suit une loi binomiale dont vous donnerez les paramètres.
2. Quelle est la probabilité pour que le client renvoie sa palette ? Donner une approximation de cette
probabilité et comparer.
Exercice 10 Soit (X,Y) un couple aléatoire tel que X(Ω) = {0, 1}, Y (Ω) = {−2, −1, 0} dont la loi est
donnée dans le tableau suivant :
P (X = x, Y = y)
X=0
X=1
y = −2
0.15
0.1
y = −1
0.2
0.1
y=0
0.25
0.2
1. Calculer les lois marginales de X et de Y.
2. Calculer E(XY) et cov(X,Y)
2
Exercice 11
Soit (X,Y) un(couple aléatoire continu dont la densité est définie par la fonction h suivante :
k six ∈]0, 1[, y ∈]0, 1[et0 < x + y < 1
h(x, y) =
0 sinon
1. Donner les densités marginales de X et de Y en fontion de k. Calculer k.
2.Calculer E(Y).
3. Calculer E(XY) et cov(X,Y).
4. X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 12
Soit (X,Y) un(couple aléatoire continu dont la densité est définie par la fonction h suivante :
6(x − y) si0 < y < x < 1
h(x, y) =
0
sinon
1. Donner les densités marginales de X et de Y.
2. X et Y sont-elles indépendantes ?
3