Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231

Université Pierre et Marie Curie
UE 2M231 – Probabilités-Statistiques
Mathématiques L2
Année 2014-15
Examen du 13 mai 2015
Le sujet comporte 2 pages. L’épreuve dure 2 heures. Les documents,
calculatrices et téléphones portables sont interdits. Un soin particulier devra
être accordé à la qualité et la précision de la rédaction.
Exercice 1.
On considère un dé à 6 faces, non équilibré, au sens où les 6 faces n’ont
pas toutes la même chance d’apparaı̂tre lors d’un lancer. On suppose que le
résultat (c’est-à-dire la face numérotée) 1 (respectivement 2, 3, 4, 5, 6) a 1
(respectivement 2, 1, 4, 1, 1) chance sur 10 d’apparaı̂tre.
1. Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 5
sachant que le résultat est pair.
2. Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 5
sachant que le résultat est impair.
3. Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat pair sachant que le résultat
est supérieur ou égal à 5.
4. Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat impair sachant que le
résultat est supérieur ou égal à 5.
5. Est-il plus probable d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 5 si le résultat
est pair, ou bien s’il est impair ?
6. Si le résultat est supérieur ou égal à 5, est-il plus probable d’obtenir un
résultat pair ou impair ?
Exercice 2.
On se place dans un espace probabilisé (Ω, B, P).
1. Déterminer la fonction caractéristique de la variable aléatoire égale à 0.
2. Déterminer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi normale (gaussienne) N (µ, σ 2 ) d’espérance µ et variance σ 2 . On pourra admettre que la fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi normale
2
N (0, 1) est la fonction qui à t associe e−t /2 .
3. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires telle que pourchaque entier n la variable Xn suit une loi normale (gaussienne) N n1 , n12 .
3.1. Déduire de ce qui précède que la suite (Xn )n converge en loi vers 0.
3.2. Pour chaque n, déterminer la variance et l’espérance de Xn , ainsi que
la quantité E[Xn2 ]. En déduire que la suite (Xn )n converge vers 0 dans L2
(en moyenne quadratique).
3.3. Comparer les résultats obtenus dans les questions 3.1 et 3.2.
Exercice 3. On se place dans un espace probabilisé (Ω, B, P).
1. (Exemple) Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Montrer
que l’espérance E[etX ] est finie pour tout réel t, et donner sa valeur.
2. (Exemple) Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1. Montrer que l’espérance E[etX ] est finie pour tout réel t < 1,
et donner sa valeur.
3. (Exemple) Soit X une variable aléatoire de loi normale (gaussienne)
N (0, σ 2 ). Montrer que l’espérance E[etX ] est finie pour tout réel t, et de
valeur
2 2
E[etX ] = eσ t /2 .
4. Soit X une variable aléatoire et t un nombre positif tels que la variable
etX soit dans L1 . Montrer que pour tout réel r
P[X ≥ r] ≤ e−tr E[etX ].
5. Soit X une variable aléatoire. On suppose que la variable etX est dans
L1 pour tout réel t positif, et qu’il existe une constante c > 0 telle que
2
E[etX ] = ect pour tout t positif. Montrer que pour tout réel positif r
r2
P[X ≥ r] ≤ e− 4c .
6. (Exemple) Soit X une variable aléatoire de loi normale (gaussienne)
N (0, σ 2 ). En déduire que pour tout réel r positif
r2
P[X ≥ r] ≤ e− 2σ2
puis que
r2
P[|X| ≥ r] ≤ 2 e− 2σ2 .
7. (Exemple) Soit (Xi )i≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes
et identiquement distribuées, de loi normale (gaussienne) N (0, σ 2 ). Pour
n
chaque entier n ≥ 1 soit Zn = X1 +···+X
·
n
7.1. Déterminer la limite de la suite de variables aléatoires (Zn )n≥1 . En quel
sens cette suite converge-t-elle ?
7.2. Soit n ≥ 1 un entier fixé. Déterminer les espérances E[X1 ] et E[Zn ] et
les variances Var(X1 ) et Var(Zn ).
7.3. Soit n ≥ 1 un entier fixé et r un réel strictement positif fixé. Montrer que
σ2
P |Zn | ≥ r ≤ 2 ·
nr
7.4. Soit n ≥ 1 un entier fixé et r un réel strictement positif fixé. Montrer que
nr 2
P |Zn | ≥ r ≤ 2 e− 2σ2 .
tX1 n
On pourra admettre que E etZn = E e n
pour tout réel t.
Corrigé succint
Exercice 1
Soit X la variable aléatoire représentant le résultat du lancer. X peut
prendre les valeurs entières de 1 à 6, avec
P[X = 1] = 1/10, P[X = 2] = 2/10, P[X = 3] = 1/10,
P[X = 4] = 4/10, P[X = 5] = 1/10, P[X = 6] = 1/10.
1. La probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 5 sachant que
le résultat est pair est la probabilité conditionnelle
P[X ≥ 5|X pair] =
P[X ≥ 5 et X pair]
P[X = 6]
1/10
1
=
=
= ·
P[X pair]
P[X = 2 ou 4 ou 6]
2/10 + 4/10 + 1/10
7
2. La probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 5 sachant que
le résultat est impair est la probabilité conditionnelle
P[X ≥ 5|X impair] =
P[X ≥ 5 et X impair]
P[X = 5]
1/10
1
=
=
= ·
P[X impair]
P[X = 1 ou 3 ou 5]
1/10 + 1/10 + 1/10
3
3. La probabilité d’obtenir un résultat pair sachant que le résultat est
supérieur ou égal à 5 est la probabilité conditionnelle
P[X pair|X ≥ 5] =
P[X pair et X ≥ 5]
P[X = 6]
1/10
1
=
=
= ·
P[X ≥ 5]
P[X = 5 ou 6]
1/10 + 1/10
2
4. La probabilité d’obtenir un résultat impair sachant que le résultat est
supérieur ou égal à 5 est la probabilité conditionnelle
P[X impair|X ≥ 5] =
P[X impair et X ≥ 5]
P[X = 5]
1/10
1
=
=
= ·
P[X ≥ 5]
P[X = 5 ou 6]
1/10 + 1/10
2
5. Il plus probable d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 5 si le résultat
est impair, que s’il est pair. En effet, d’après les questions 1 et 2, la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 5 sachant que le résultat est
impair est égale à 1/3, donc est plus grande que la probabilité d’obtenir un
résultat supérieur ou égal à 5 sachant que le résultat est pair, qui est égale
à 1/7.
6. Si le résultat est supérieur ou égal à 5, il est aussi probable d’obtenir un
résultat pair qu’impair puisque les probabilités d’obtenir un résultat impair,
ou un résultat pair, sachant que le résultat est supérieur ou égal à 5, sont
égales (à 1/2 d’après les question 3 et 4).
3
Exercice 2
1. La fonction caractéristique de la variable aléatoire égale à 0 est donnée
pour tout réel t par
ψ0 (t) = E[eit0 ] = E[1] = 1.
2. Si X est une variable aléatoire de loi N (µ, σ 2 ), alors pour tout t sa
fonction caractéristique est donnée par
Z +∞
dx
2
2
itX
e−itx−(x−µ) /(2σ ) √
ψX (t) = E[e ] =
2πσ 2
−∞
Z +∞
Z +∞
dy
2
it(σy+µ)−y 2 /2 dy
itµ
√ =e
eitσy−y /2 √
=
e
2π
2π
−∞
−∞
par le changement de variable y = (x − µ)/σ. L’intégrale est la fonction
caractéristique d’une variable suivant une loi N (0, 1), calculée au point
2
σt. D’après l’indication par exemple elle est donc égale à e−(σt) /2 . Par
conséquent pour tout t
2 2
ψX (t) = eitµ−σ t /2 .
3.1. Pour n donné, la fonction caractéristique de Xn , au point t, est
donnée par
2
2
ψXn (t) = eit/n−t /(2n )
d’après la question 2. Soit maintenant t fixé. Quand n tend vers +∞, alors
it/n − t2 /(2n2 ) tend vers 0, et donc ψXn (t) tend vers e0 = 1 = ψX (t) où
X est la variable aléatoire égale à 0. Comme ceci est vrai pour tout t on en
déduit que Xn tend en loi vers X, c’est-à-dire vers 0.
3.2. La variable Xn suit une loi N (1/n, 1/n2 ), donc l’espérance de Xn est
E[Xn ] = 1/n et sa variance V ar(Xn ) = 1/n2 . Comme de plus V ar(Xn ) =
E[Xn2 ] − (E[Xn ])2 , on en déduit que
E[Xn2 ] = V ar(Xn ) + (E[Xn ])2 =
1
1
2
+
= 2·
n2 n2
n
En particulier
E|Xn − 0|2 = E[Xn2 ]
tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Autrement dit la suite (Xn )n tend
vers 0 en moyenne quadratique.
3.3. De manière générale, la convergence en moyenne quadratique implique la convergence en loi. Par conséquent le résultat de la question 3.2
est plus fort que le résultat de la question 3.1.
Exercice 3
1. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. La variable
X admet une densité égale à la fonction indicatrice de [0, 1], donc par la
4
formule de transfert pour tout t réel donné la variable positive etX admet
une espérance égale à
Z 1
h etx i1 et − 1
tX
etx dx =
E[e ] =
=
t 0
t
0
si t 6= 0 et égale à E[e0X ] = E[1] = 1 en t = 0.
2. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1,
c’est-à-dire de densité e−x 1x≥0 . Pour t réel la variable positive etX admet
une espérance E[etX ] finie si l’intégrale
Z +∞
Z +∞
tx −x
e(t−1)x dx
e e dx =
0
0
converge. Or c’est le cas si et seulement si t < 1, et dans ce cas l’intégrale,
1
et donc E[etX ], est égale à 1−t
·
3. Soit X une variable aléatoire
de loi normale (gaussienne) N (0, σ 2 ),
2 /(2σ 2 ) √
−x
c’est-à-dire de densité e
/ 2πσ 2 . Par la formule de transfert, pour t
tX
réel la variable positive e admet une espérance E[etX ] finie si l’intégrale
Z +∞
dx
2
2
etx e−x /(2σ ) √
2πσ 2
−∞
2
2
2
2
converge. Or c’est le cas pour t quelconque puisque etx e−x /(2σ ) = O(e−x /(4σ ) )
2
2
par exemple, où e−x /(4σ ) est intégrable sur R. De plus
Z +∞
Z +∞
1
2 2
2 4
dx
dx
tX
tx −x2 /(2σ 2 )
√
E[e ] =
e e
=
e− 2σ2 [((x−tσ ) −t σ ] √
2
2πσ
2πσ 2
−∞
−∞
Z +∞
dx
2
2
2 4
2
2 2
e−y /(2σ ) √
=
et σ /(2σ ) = et σ /2
2
2πσ
−∞
par le changement de variable y = x − tσ 2 .
4. Soit r un réel fixé. Pour t ≥ 0, par croissance de la fonction exponentielle et par l’inégalité de Markov
P[X ≥ r] = P[etX ≥ etr ] = P[etX−tr ≥ 1] ≤ E[etX−tr ] = e−tr E[etX ].
5. Soit r un réel positif. Pour tout t positif, d’après la question 4,
2
P[X ≥ r] ≤ e−tr E[etX ] = e−tr+ct .
Comme ceci est vrai pour tout t positif, on peut optimiser sur les t positifs.
Le terme dans l’exponentielle est un trinôme en t, qui atteint son minimum
en t = r/(2c), et y prend la valeur −r2 /(4c). Pour t = r/(2c) on a donc
obtenu
r2
P[X ≥ r] ≤ e− 4c .
5
6. Soit X une variable aléatoire de loi normale (gaussienne) N (0, σ 2 ) et
r un réel positif. D’après la question 3 on peut appliquer le résultat de la
question 5 avec c = σ 2 /2. On obtient donc
r2
P[X ≥ r] ≤ e− 2σ2 .
De plus la variable Y = −X est de loi N (0, σ 2 ) par parité de la densité
de la loi, donc
r2
P[Y ≥ r] ≤ e− 2σ2
c’est-à-dire
r2
P[X ≤ −r] ≤ e− 2σ2 .
Ainsi
r2
P[|X| ≥ r] = P[X ≤ −r] + P[X ≥ r] ≤ 2 e− 2σ2 .
7.1. Soit (Xi )i≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de loi normale (gaussienne) N (0, σ 2 ). En particulier
c’est une suite de v.a.i.i.d. dans L1 et d’espérance nulle, donc la suite de
variables (Zn )n converge vers 0 presque sûrement et dans L2 , d’après la loi
des grands nombres. En particulier elle converge en probabilité et en loi.
7.2. Soit n ≥ 1 un entier fixé. La variable X1 est dans L1 et d’espérance
E[X1 ] = 0 par hypothèse. Les variables Xi sont dans L1 par hypothèse donc
par linéarité la variable Zn est dans L1 , avec
n
1X
E[Zn ] =
EXi = 0
n
i=1
puisque les Xi ont même loi, donc même espérance.
La variable X1 est dans L2 par hypothèse et sa variance est Var(X1 ) =
2
σ . De plus les Xi sont indépendantes, et de même loi donc de même variance, donc
Var(Zn ) =
n
1 X
Var(X1 )
σ2
=
.
Var(X
)
=
i
n2
n
n
i=1
7.3. Soit n ≥ 1 un entier fixé et r un réel strictement positif fixé. D’après
la question 7.2, EZn = 0 et Var(Zn ) = σ 2 /n donc par l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev
Var(Zn )
σ2
P |Zn | ≥ r = P |Zn − E[Zn ]| ≥ r ≤
=
·
r2
nr2
7.4. Soit n ≥ 1 un entier fixé et r un réel strictement positif fixé. Comme
les Xi sont des v.a.i.i.d
n
n
h
i
tX1 n
Y
Y
.
E etZn = E e(X1 +···+Xn )t/n = E
etXi /n =
E etXi /n = E e n
i=1
6
i=1
2 2
Or d’après la question 3 E[esX1 ] = eσ s /2 pour tout s donc en particulier
pour s = t/n, donc
n
22
2
2 2
E etZn = eσ t /(2n ) = eσ t /(2n) .
Donc d’après la question 5, avec c = σ 2 /(2n),
r2
nr 2
P Zn ≥ r ≤ e− 4σ2 .2n = e− 2σ2 .
Enfin
h (−X ) + · · · + (−X )
i
1
n
P Zn ≤ −r = P
≥r
n
où les variables −Xi sont des v.a.i.i.d de loi N (0, σ 2 ). Donc cette quantité
nr 2
est de même majorée par e− 2σ2 . Par conséquent
nr 2
P |Zn | ≥ r = P Zn ≤ −r + P Zn ≥ r ≤ 2 e− 2σ2 .
On pouvait également calculer la fonction caractéristique de Zn , vérifier
que cette fonction est égale à la fonction caractéristique d’une variable de
loi N (0, σ 2 /n) et en déduire que Zn est de loi N (0, σ 2 /n) ; enfin, appliquer
à Zn la question 6.
7