Feuille 5

Travaux Dirigés
no 5
Cours de Probabilités
— IR - Ing. 2000, 2ème année 2005-2006 —
Variables aléatoires continues
Le but est de se familiariser avec la fonction densité d’une variable aléatoire
continue, ainsi que la fonction de répartition utilisée pour la transformation
de variables aléatoires.
x Exercice
1. Soit X une variable aléatoire continue admettant la densité f définie
par


si 0 ≤ x ≤ 1,
x
f (x) = 2 − x si 1 ≤ x ≤ 2,


0
ailleurs.
1. Déterminer la fonction de répartition de X.
2. Calculer les probabilités suivantes :
(a) P(X < 0, 4),
(b) P(X > 1, 5),
(c) P(0, 2 ≤ X ≤ 1, 2).
x Exercice
2. La densité de probabilité d’une variable aléatoire continue X est définie
par


si 0 ≤ x ≤ 3,
kx
f (x) = k(6 − x) si 3 ≤ x ≤ 6,


0
ailleurs.
1. Déterminer la constante k.
2. Déterminer la fonction de répartition de X.
R
R
3. Calculer R xf (x)dx et R x2 f (x)dx.
x Exercice
3. La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X est


si x < 0,
0
x2 +x3
F (x) =
si 0 ≤ x ≤ 1,
2


1
si x > 1.
Déterminer la densité de probabilité de X.
1
x Exercice 4. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre
λ = 1.
1. Pour s, t > 0, calculer P(X > s) puis P(X > s + t|X > t). Comment peut-on
interpréter cette propriété ?
2. Déterminer la loi de X 2 et de X 3 .
3. Déterminer la loi de aX + b où a et b sont des réels.
x Exercice
5. (Loi de Rayleigh) Soit f définie par
(
0
si x < 0,
f (x) =
−x2 /2
xe
si x ≥ 0.
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Soit X admettant f comme densité. Déterminer la loi de Y = X 2 .
6. On suppose que X suit une loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer la loi de
pour λ > 0.
R +∞ −t x−1
x Exercice 7. (Loi Gamma) Soit Γ(x) = 0
e t dt.
x Exercice
− ln(X)
λ
1. Montrer que Γ(x) existe pour x > 0 et que Γ(x) > 0.
2. Soit x > 0. Montrer que Γ(x+1) = xΓ(x) en utilisant une intégration par parties.
3. Soit x > 0 et fx définie par
fx (u) =
(
0
1
e−u ux−1
Γ(x)
si u < 0,
si u ≥ 0.
(a) Montrer que fx est une densité de probabilité.
(b) Soit Y admettant la densité f1 . Quelle est la loi de Y ?
(c) Soit X admettant la densité fx . Déterminer l’espérance et la variance de
X.
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