institut national des telecommunications groupe des ecoles de

INSTITUT NATIONAL DES TELECOMMUNICATIONS
GROUPE DES ECOLES DE TELECOMMUNICATION
CONTROLE DE CONNAISSANCES
—————————————————————————————————————————————Module PS 11 : Probabilités (1ère session)
Durée : 1,5 H
Sans document et sans calculatrice (seule une page manuscrite A4 est autorisée)
Date : 24.11.2006
Coordonnateur : DELMAS Jean Pierre
Nom :
Prénom :
Année :
—————————————————————————————————————————————
Justifier chaque réponse de façon concise. Répondre sur le questionnaire même, si possible dans les
limites qui vous sont proposées. Il est conseillé de faire un rapide brouillon sur une feuille à part avant
de reporter votre réponse. Les trois exercices sont ”indépendants”.
1] Modélisation d’expérience aléatoire : Compteur de particules inhibé
Deux émetteurs de particules émettent chacun une particule pendant l’intervalle de temps [0, t0 ]. On
note T1 et T2 , les instants respectifs d’émission des deux particules émises. Le compteur qui reçoit une
particule à l’instant t est inhibé pendant l’intervalle de temps [t, t + τ ] (ne compte plus aucune particule
reçue pendant cette durée d’inhibition τ , τ étant une constante qui ne dépend que du compteur et τ < t0 ).
On suppose que les deux particules sont émises ”de façon indépendante” et ”au hasard” vers le compteur.
1.1] Par quel espace probabilisé peut-on modéliser une telle expérience aléatoire ? Quel est l’événement
{une particule n’est pas enregistrée} dans cet espace probabilisé ?
1.2] En déduire la probabilité qu’une particule ne soit pas enregistrée ?
2] Probabilité d’événement, variable aléatoire
La durée de vie X de chaque transistor qui équipe un étage d’un oscilloscope est modélisée par une
variable aléatoire de densité de probabilité :
fX (x) =
a
1
(x)
x2 ]a,∞[
avec a = 100h et l’état de chacun des transistors qui équipe cet étage est indépendant de l’état des autres.
Quelle est la probabilité qu’aucun des 5 transistors qui équipe cet étage d’oscilloscope ne soit à
remplacer durant les 250 premières heures de fonctionnement de l’appareil ?
3] Changement de variable aléatoire
On considère deux variables aléatoires X1 et X2 indépendantes de même loi de probabilité de densité
de probabilité :
x2
1
fX1 (x) = fX2 (x) = √ e− 2σ2 .
σ 2π
def
3.1] Déterminer la densité de probabilité de la variable aléatoire Y = X12 .
def
3.2] Déterminer la densité de probabilité de la variable aléatoire Z = X12 + X22 . Préciser la loi de
probabilité obtenue.
————————————————————————————————————————1
Correction succincte du contrôle de connaissance de PS11
1] Modélisation d’expérience aléatoire : Compteur de particules inhibé
1.1] L’expérience aléatoire est modélisée par l’espace probabilisé (Ω, A, P ) avec Ω = [0, t0 ] × [0, t0 ],
A désigne l’ensemble des parties de Ω dont on sait définir des ”surfaces” (les boréliens de Ω) et P est
l’application probabilité uniforme sur Ω.
t0
A
τ
τ
0
t0
1.2] L’événement {une particule n’est pas enregistrée} est alors le domaine A hachuré de Ω.
Par suite
t2 − (t0 − τ )2
2t0 τ − τ 2
2τ
Aire(A)
pour τ ¿ t0
= 0
=
≈
P (A) =
2
Aire(Ω)
t0
t0
t20
2] Probabilité d’événement, variable aléatoire
Désignons par Xk , k = 1.., 5, les durées de vie de chacun des 5 transistors. L’événement cherché est
alors
{
5
\
Xk > 250}.
k=1
Par suite la probabilité cherchée P vaut grace à l’indépendance des variables aléatoires Xk , k = 1.., 5 :
P = P(
5
\
{Xk > 250}) =
k=1
5
Y
P (Xk > 250) =
k=1
µZ +∞
250
3] Changement de variable aléatoire
3.1]
def
FY = P (Y < y) =
R √y
√
√
avec P ( y < X1 < y) = 2 0
(
P (X12
< y) =
fX (x)dx
=
µZ +∞
a
250
x2
¶5
dx
µ
=
100
250
¶5
≈ 0.01
0
si y ≤ 0
√
√
P ( y < X1 < y) si y > 0
2
x
√1 e− 2σ2 dx.
σ 2π
fY (y) =
¶5
Soit :
y
dFY (y)
1
1
= √
e− 2σ2 √ .1]0,+∞[ (y)
dy
y
σ 2π
3.2] Deux méthodes sont possibles: La première passe par la fonction de répartition de la variable
aléatoire Z et la deuxième calcule directement le densité de probabilité de la variable aléatoire Z à l’aide
du produit de convolution (rel. [II.23a]) des densités de probabilité de X12 et X22 obtenues à la question
3.1] car X12 et X22 sont indépendantes.
(
def
FZ = P (Z < z) = P (X12 + X22 < z) =
def
0
si z ≤ 0
P [(X1 , X2 ) ∈ ∆z ] si z > 0
avec ∆z = {(x1 , x2 ), x21 + x22 < z}. Soit grâce à l’indépendance des variables aléatoires X1 et X2
2
ZZ
P [(X1 , X2 ) ∈ ∆z ] =
ZZ
=
ZZ
∆z
fX1 ,X2 (x1 , x2 )dx1 dx2 =
2
∆z
2
1 − x1 +x2 2
e 2σ dx1 dx2 =
2πσ 2
∆z
ZZ
∆0z
fX1 (x1 )fX2 (x2 )dx1 dx2
·
2
1 − r22
− r
2σ rdrdθ = −e 2σ 2
e
2πσ 2
avec
Soit :
fZ (z) =
def
∆0z =
¸√z
0
{(r, θ), r > 0 et θ ∈ [0, 2π[}
z
dFZ (z)
1
= 2 e− 2σ2 1[0,+∞[ (z).
dz
2σ
Par suite Z est de loi exponentielle de paramètre 2σ1 2 .
Ce résultat peut s’obtenir directement moyennant un petit calcul d’intégrale :
fZ (z) =
avec
Z z
p
0
Z +∞
−∞
Ã
fY (y)fY (z − y)dy =
1
dy =
y(z − y)
Ce qui redonne fZ (z) =
Z 1
1
dt =
t(1 − t)
p
0
1
2πσ 2
Z z
0
sin u cos u
0
z
1 − 2σ2
1[0,+∞[ (z).
e
2σ 2
3
!
z
1
p
e− 2σ2 dy 1[0,+∞[ (z)
y(z − y)
Z π/2
2 sin u cos u
du = π
z
= 1 − e− 2σ2 .
(avec t = sin2 u)