Université de Paris X Nanterre Miage L3

Université de Paris X Nanterre
Miage L3
Compléments statistiques
1
Statistiques descriptives
Exercice 1.1. On étudie le nombre d’enfants par couples dans une population de 20 couples. On
obtient la répartition suivante :
Nombre d’enfants
Effectif
0
6
1
7
2
4
3
2
4
1
1. Faire la représentation graphique. Donner le mode.
2. Donner la distribution des fréquences.
3. Calculer la moyenne, la variance, l’écart-type.
Exercice 1.2. On étudie une population dont voici la répartition en âge.
Age
Effectif
1.
2.
3.
4.
2
[0,18]
12
]18,25]
28
]25,35]
22
]35,50]
21
Tracer l’histogramme. Donner le mode.
Tracer la fonction de répartition. Placer la médiane et les deux quartiles.
Calculer la médiane Q1 , Q3 .
Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type.
Variables aléatoires discrètes
Exercice 2.1. Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre de garçons que l’on peut observer dans une famille de 6 enfants. Déterminer sa loi de probabilité, son espérance et sa variance.
Exercice 2.2. Soit X la variable aléatoire ète définie par
P (X = 0) = (1 − p)2 , P (X = 1) = 2p(1 − p) et P (X = 2) = p2 .
où p
(i)
(ii)
(iii)
est un paramètre réel avec 0 ≤ p ≤ 1.
Vérifier qu’on a bien défini ainsi une loi de probabilité.
Calculer l’espérance et la variance de X.
On pose Y = −3X + 1. Quelles sont l’espérance et la variance de Y ?
1
3
Lois à densité
Exercice 3.1. Soit X une v.a. dont la loi admet la densité :
f (x) = x
= 2−x
= 0
si x ∈ [0, 1]
si x ∈ [1, 2]
sinon
1. Déterminer la fonction de répartition F de X. Tracer son graphe ainsi que celui de f .
2. Donner le mode et la médiane de la loi de X.
3. Calculer E(X) et var(X).
4. Calculer p1 = P (|X − 1| < 1/2)
5. On pose Y = log X. Déterminer la densité et la répartition de la loi de Y .
6. On pose Z = (X − 1)2 . Déterminer la densité et la répartition de la loi de Z.
Exercice 3.2. Soit X une v.a. continue de densité :
1
f (x) = x+1
= 0
si 0 ≤ x ≤ e − 1
sinon
1. Vérifier que f est bien une densité.
2. Calculer p1 = P (X > 1) et p2 = P (0.7 < X < 1.7).
3. Déterminer la fonction de répartition F de X.
4. Déterminer la loi de la v.a. Y = log(X + 1).
5. Déterminer la loi de la v.a. Z = X 2 .
4
Lois gaussiennes et lois associées
Exercice 4.1. Soit X une variable de loi gaussienne centrée, réduite. Calculer :
P (0 < X < 1), P (−1 < X < 1), P (−2 < X < 1),
P (−0.7 < X < −0.3), P (1 < X < 2).
Déterminer a tel que :
P (0 < X < a) = 95%, P (−a < X < a) = 96%, P (X > a) = 5%, P (|X| > a) = 2%.
Exercice 4.2. Soit X une variable de loi gaussienne de moyenne −2 et de variance 4. Calculer :
P (0 < X < 1), P (0 < X < 0.5), P (−1 < X < 1), P (−2 < X < 1),
P (−0.7 < X < −0.3), P (1 < X < 2).
Exercice 4.3. Soit X une variable de loi de Student à 7 degrés de liberté. Chercher a tel que :
P (X < a) = 95%, P (X < a) = 5%, P (|X| < a) = 95%, P (X < a) = 99%.
Déterminer des valeurs a et b telles que P (a < X < b) = 0.90.
2
5
Intervalle de confiance pour une moyenne
Exercice 5.1. Une ville comporte N = 15929 logements. On relève le nombre d’habitants de n
= 100 logements pris au hasard. On obtient la répartition suivante.
nombre d’occupants
nombre de logements
1
10
2
19
3
24
4
31
5
15
7
1
Donner un intervalle de confiance à 95% pour la population totale de la ville.
Exercice 5.2. Une société emploie 2 342 personnes. On demande à 150 d’entre elles le nombre
de leurs enfants on obtient les résultats suivants.
nombre d’enfants
nombre d’employés
0
78
1
48
2
19
3
5
Donner un intervalle de confiance à 95% du nombre total d’enfants des employés de cette société.
6
Test pour une moyenne
Exercice 6.1. Pour une variable X supposée gaussienne, on dispose de l’échantillon suivant :
52, 40, 49, 53, 46, 45, 48.
On cherche à savoir si l’espérance µ de X est de 50 ou bien est strictement inférieure. Faites le
test au niveau 90%.
Exercice 6.2. Soit une variable X quelconque, dont on a recueilli un échantillon de taille 400.
On vous donne :
400
400
X
X
(xi − x̄)2 = 921.
xi = 812,
i=1
i=1
Peut-on affirmer au niveau 98% que l’espérance µ de X est strictement supérieure à 2 ?
7
Etude d’une proportion
Exercice 7.1. Le service clientèle a examiné 3680 enquêtes de satisfaction avec 8 question sur
chaque formulaire. On a dénombré 23023 réponses Oui. Ce résultat est-il compatbile avec l’hypothèse d’un taux de satisfaction de 80% ? On prendra un seuil de signification de 5%.
Exercice 7.2. Une étude portant sur l’absentéisme le vendredi après midi est réalisée. Sur 300
employés choisis au hasard, 26 sont régulièrement absents les vendredis pendant 3 mois. Tester,
au seuil de signification 5%, l’hypothèse que la proportion est inférieure à 10%. Quelle est la
p-value ?
Exercice 7.3. On réalise un test de qualité auprès de 225 objets usinés. 95, 4% d’entre eux sont
corrects.
1. Au seuil de 1%, peut-on affirmer l’hypothèse que la proportion d’objets non défectueux
est supérieure à 95% ?
3
2. Quelle est la p-value ?
3. Calculer la puissance du test pour des valeurs alternatives de proportion égales à 0.96 ;
0.97 ; 0.98 ; 0.99.
Exercice 7.4. Sur un échantillon de 1000 amateurs de café, 300 individus interrogés préfèrent
le robusta à l’arabica. Donner un intervalle de confiance à 99% de la proportion d’individus
préférant le robusta à l’arabica.
Exercice 7.5. On désire estimer le nombre N d’individus d’une espèce animale vivant sur une
ı̂le. Pour cela, on capture 800 individus ; ces individus sont marqué, puis relâchés. Ensuite, on
recapture ultérieurement 1000 animaux parmi lesquels on dénombre 250 animaux marqués. En
déduire un intervalle de confiance à 95% pour N .
8
Couples de variables
Exercice 8.1. Soient X et Y des variables aléatoires
le tableau suivant.
X \ Y -1
0
0
0,10 0,05
1
0,15 0,20
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
discrètes dont la loi jointe est donnée par
2
0,15
0,25
5
0,05
0,05
Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité bivariée.
Quelle est la loi marginale de X ?
Quelle est la loi marginale de Y ?
Calculer P(Y ≥ 0 | X = 1).
Calculer E[X], E[Y ], var(X), var(Y ) et cov(X, Y ).
Exercice 8.2. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le
tableau suivant :
X \ Y
-3
-1
1
0
c/8
c/8
0
1
2c/8 3c/8 c/8
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Déterminer la constante c telle que ce tableau définisse bien une loi de probabilité.
Calculer E[X], E[Y ].
Calculer var(X), var(Y ).
Calculer cov(X, Y ).
Soient U = 3X − Y et V = 4X + Y . Calculer cov(U, V ).
Soit W = 100 V . Calculer P(W > 240).
On donnera les résultats exacts sous forme de fraction.
Exercice 8.3. Soient (X1 , X2 , . . . , Xn ) n variables aléatoires indépendantes et suivant toutes
la même loi d’espérance m et de variance σ 2 . Calculer cov(U, V ) et cor(U, V ) des v.a. U et V
suivantes :
a) U = V = X1 ,
b) U = X1 et V = aX1 + b, a 6= 0.
c) U = X1 et V = X2
d) U = X1 et V = n1 (X1 + X2 + . . . Xn )
4