a l`issue de ce jeu le gain algebrique (gain ou perte

Terminale S1
Épreuve pratique
Pour le 31 mars
Simulation d’un tirage de boules dans des urnes
Énoncé
On dispose de deux urnes U et V contenant des boules indiscernables au toucher. L’urne U contient dix boules numérotées
de 1 à 10. L’urne V contient dix boules numérotées de 0 à 9. Un jeu se déroule de la manière suivante : le joueur verse une
mise initiale de 100 jetons, puis il tire au hasard une boule dans l’urne U et une boule dans l’urne V de façon indépendante.
Chaque boule portant un numéro inférieur ou égal à 4 rapporte a jetons où a est un entier non nul, le tirage d’une autre
boule ne rapporte ni ne fait perdre aucun jeton. On regarde à l’issue de ce jeu le gain algébrique (gain ou perte) compté en
jetons.
Partie A
1. On simule 1 000 exécutions du jeu sur un tableur. On fixe dans un premier temps a = 150.
(a) Réaliser une feuille de calcul sur le modèle suivant :
A
B
Numéro de la boule
1
Rang du tirage
tirée dans l’urne U
2
1
3
2
..
..
.
.
1001
C
Numéro de la boule
tirée dans l’urne V
D
Gain algébrique
1000
On utilisera pour U la commande =ENT(10*ALEA()+1) où ENT donne la partie entière d’un nombre et ALEA() est un
nombre réel aléatoire dans l’intervalle [0 ; 1[.
Pour le gain algébrique, on utilisera la commande = -100 + SI(B2<=4 ;150 ;0) + ...
(b) Déterminer la moyenne des gains obtenus lors de cette simulation.
On utilisera dans la cellule E2 par exemple, la commande =MOYENNE(D2:D1001)
(c) À l’aide d’autres simulations, conjecturer la valeur vers laquelle semble tendre la moyenne des gains obtenus.
2. On souhaite faire varier la valeur de a.
(a) Adapter la feuille de calcul pour obtenir des simulations en fonction de a.
Taper dans la cellule F2 par exemple, la valeur de a. Puis dans la barre des menus, sélectionner Insertion →
Nom → Définir, puis taper a. Maintenant, pour faire référence à la valeur de la cellule F2, il suffira de
taper a.
(b) Est-il possible de donner une valeur à a qui paraisse rendre le jeu équitable ?
Partie B
3. Soit X la variable aléatoire donnant le gain algébrique à l’issue d’un tirage.
(a) Déterminer l’espérance de X en fonction de a. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
(b) Est-il possible de trouver a afin que le jeu soit équitable ?
(c) Comparer le résultat avec les conjectures obtenues dans la Partie A.
Production demandée
– La feuille de calcul complète.
– Réponses écrites aux questions.
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Pour le 31 mars
On peut également traiter ce problème à l’aide d’un logiciel de programmation comme Scilab. Il suffit de programmer
l’algorithme suivant (par exemple) :
Début
u est un entier naturel
v est un entier naturel
a est réel
moyenne est un nombre réel
gain est un nombre réel
moyenne := 0
Pour i = 1 jusqu’à 1 000 par pas de 1 faire
gain := −100
u est un entier naturel aléatoire entre 1 et 10
v est un entier naturel aléatoire entre 0 et 9
Si u 6 4 Alors
gain := gain + a
FinSi
Si v 6 4 Alors
gain := gain + a
FinSi
moyenne := moyenne + 1gain
000
FinPour
Afficher(”La moyenne des gains est ” + moyenne.)
Fin
Sous Scilab, floor donne la partie entière d’un nombre et rand() est un nombre réel aléatoire dans l’intervalle [0 ; 1[.
On pourra s’inspirer du diaporama « Estimation de π ».