1. un - maths peyramale

1S
INTERROGATION no 6
25 mai 2012
Exercice 1 (3 pts)
Dans chacun des cas déterminer le sens de variation de la suite u :
1. un = 2n2 − 1
un+1 − un = 2(n + 1)2 − 1 − (2n2 − 1) = 2(n2 + 2n + 1) − 1 − 2n2 + 1 = 2n2 + 4n + 2 − 1 − 2n2 + 1 = 4n + 2 > 0.
Donc la suite u est croissante.
2. u0 = 0 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2n + 3
un+1 − un = un + 2n + 3 − un = 2n + 3 > 0.
Donc la suite u est croissante.
Exercice 2 (3 pts)
La suite u est définie pour tout entier naturel n par : un = 2n3 − 30n2 + 54n.
1. f (x) = 2x3 − 30x2 + 54x.
f est dérivable sur R et f ′ (x) = 6x2 − 60x + 54 (trinôme du second degré).
∆ = 2304
x
f ′ (x)
x1 = 1 et x2 = 9.
+
0
+∞
9
1
−∞
−
0
+
26
f
−486
2. La fonction f est croissante sur [9 ; +∞[ donc la suite u est croissante à partir de l’indice 9.
Exercice 3 (4 pts)
Une grille de Loto foot comporte 15 matchs. Pour le match de l’équipe A contre l’équipe B, il y a trois choix possibles :
l’équipe A gagne, l’équipe B gagne ou c’est un match nul. Le joueur doit faire des pronostics en cochant une case pour
chaque match.
Un joueur remplit une grille au hasard.
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses sur cette grille.
1. X prend comme valeur tous les entiers compris entre 0 et 15.
1
2. X suit la loi binomiale de paramètres n = 15 et p = .
3
!15
!
1
15 15
≈ 6, 97 × 10−8 .
p (1 − p)0 =
3. p(X = 15) =
3
15
!
15 12
4. p(X = 12) =
p (1 − p)3 ≈ 2, 54 × 10−4 .
12
!
15 13
p(X = 13) =
p (1 − p)2 ≈ 2, 9 × 10−5 .
13
!
15 14
p(X = 14) =
p (1 − p)1 ≈ 2 × 10−6 .
14
Cette probabilité est p(X = 12) + p(X = 13) + p(X = 14) ≈ 2, 85 × 10−4 .
5. E(X) = np = 15 ×
1
=5
3
On peut espérer avoir 5 bonnes réponses en remplissant une grille au hasard.
Exercice 4 (3 pts)
Une machine fabrique des processeurs. On sait que la probabilité d’obtenir un processeur défectueux est de 0,06.
On contrôle un lot de 300 processeurs. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de processeurs défectueux dans ce lot.
1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 300 et p = 0, 06.
2. Voici un extrait de la table de probabilités cumulées.
k
8
9
10
11
...
24
25
26
27
p(X 6 k)
0,0058
0,0131
0,0268
0,0497
...
0,9377
0,9603
0,9756
0,9855
a. a = 10
b. b = 26
"
# "
#
a b
10
26
c. L’intervalle de fluctuation à 95 % est
=
.
;
;
n n
300 300
3. Le contrôle de la machine donne 23 processeurs défectueux.
La fréquence de processeurs défectueux est :
23
.
300
Cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation donc on peut affirmer au seuil de 5% que la machine fonctionne correctement.
Exercice 5 (7 pts)
On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
L’urne U1 contient trois boules rouges et une boule noire.
L’urne U2 contient trois boules rouges et deux boules noires.
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urne
U1 , sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U2 . On considère les événements suivants :
A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ».
1. a. Arbre de probabilité :
1/4
B
A
1/6
3/4
5/6
2/5
B
B
A
3/5
B
b. La probabilité d’obtenir une boule noire est :
1 1 5 2 1 2 3
× + × =
+ = .
6 4 6 5 24 6 8
2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes
en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléatoire égale
au nombre de parties gagnées.
a. X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p =
3
= 0, 375.
8
!
13
p(X = 3) =
0, 3753 (1 − 0, 375)7 ≈ 0, 236.
3
b. p(X > 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − (1 − 0, 375)1 0 ≈ 0, 990.
3. Une personne joue maintenant n parties indépendantes, n étant un entier naturel non nul.
a. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. Y suit une loi binomiale de paramètres n et
p = 0, 375.
p(Y > 1) = 1 − p(Y = 0) = 1 − (1 − 0, 375)n = 1 − 0, 625n .
b. 1 − 0, 62515 ≈ 0, 9991 donc n = 15
c. Il faut jouer 15 fois pour avoir plus de 99,9 % de chance de gagner.