Université de Picardie Jules Verne 2015-2016 IAE Amiens

S5 Gestion - Management et Marketing 2015-2016
Statistiques appliquées
TD ordinateur 2
Université de Picardie Jules Verne
IAE Amiens
2015-2016
Licence mention Gestion parcours Management et Marketing Vente - Semestre 5
Statistiques appliquées
TD sur ordinateur 2 - Lois de probabilité et simulation
Télécharger le fichier excel TD ordinateur Chapitre 4.xls, contenant les données à traiter, à l’adresse
suivante : http://www.lamfa.u-picardie.fr/ducay . Le fichier fourni contient plusieurs feuilles proposant un
modèle type permettant de consigner les réponses aux questions suivantes.
1) Lois de probabilités et approximations.
Dans une urne contenant 500 boules dont 100 rouges et 400 blanches, on tire n 40 boules.
a) La loi Hypergéométrique H N, n, NN1 est la loi suivie par la variable aléatoire X égale au nombre de
boules rouges obtenues lors de n tirages sans remise d’une boule dans une urne en contenant N, dont N 1
rouges.
Compléter le tableau dans lequel vous indiquerez, pour chaque valeur possible k de X, la probabilité
PH k
P H X k et la valeur F H k
P H X k de la fonction de répartition de la loi hypergéométrique.
Pour ce faire, utiliser la fonction LOI.HYPERGEOMETRIQUE du tableur ; dans la boîte de dialogue, et pour
l’exemple traité :
- Succès_échantillon indique la valeur k pour laquelle on veut faire le calcul ;
- Nombre_échantillon indique le nombre n de tirages effectués ;
- Succès_population indique le nombre N 1 de boules rouges ,
- Nombre_population indique le nombre N de boules de l’urne.
b) Approximation de la loi Hypergéométrique par la loi Binomiale.
La loi Binomiale B n, NN1 est la loi suivie par la variable aléatoire X égale au nombre de boules
rouges obtenues lors de n tirages avec remise d’une boule dans une urne en contenant N, dont N 1 rouges.
Compléter le tableau en calculant P B k et F B k . Pour ce faire, utiliser la fonction LOI.BINOMIALE
du tableur ; dans la boîte de dialogue, et pour l’exemple traité :
- Nombre_succès indique la valeur k pour laquelle on veut faire le calcul ;
- Tirages indique le nombre n de tirages effectués ;
- Probabilité_succès indique la proportion NN1 de boules rouges ,
- Cumulative : FAUX permet de calculer P B k , VRAI permet de calculer F B k .
Tracez des diagrammes en batons pour comparer P H et P B d’une part, et F H et F B d’autre part.
Compléter le tableau en calculant P H k P B k et F H k F B k . Commenter.
Effectuer les calculs de l’exercice 9 du chapitre Notion de variable aléatoire réelle discrète.
c) Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson.
Compléter le tableau en calculant P P k et F P k . pour une loi de Poisson de paramètre
np n NN1 . Pour ce faire, utiliser la fonction LOI.POISSON du tableur.
Compléter le tableau en calculant F B k F P k . Commenter.
d) Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale.
On suppose maintenant qu’il y a N 1
200 boules rouges parmi les N
500 boules de l’urne. On
N1
pose p
. On effectue n 40 tirages avec remise d’une boule dans l’urne.
N
Compléter le tableau en calculant F B k et F N k où F N est la fonction de répartition de la loi
normale de moyenne np et d’écart type np 1 p . Pour ce faire, utiliser la fonction LOI.NORMALE du
tableur.
Compléter le tableau en calculant F B k F N k . Commenter.
2) Simulations : loi de Bernoulli, loi Binomiale, théorèmes "limite".
A l’expérience aléatoire "choisir un nombre au hasard dans l’intervalle 0; 1 " on peut associer une
variable aléatoire Y suit la loi Uniforme sur l’intervalle 0; 1 (loi à densité) ; Y indique le nombre obtenu. On
sait que pour tout y
0; 1 , P Y y
y.
p étant donné dans 0, 1 , on a alors P Y p
p. Considérant la variable aléatoire X définie par
Y p
Y p , X suit la loi de Bernoulli B p , c’est-à-dire
X 1
Y p et X 0
PX 1
p et P X 0
1 p.
Stéphane Ducay
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Utilisation du tableur
Une valeur de Y est simulée par l’instruction ALEA() à entrer dans une cellule, par exemple B1.
La valeur correspondante de X est alors obtenue dans la cellule C1 par l’instruction SI(B1 p;1;0).
a) On suppose que p 0, 4. Répéter la simulation ci-dessus un grand nombre de fois (50, 100, 200, 500,
1000 fois), en créant un tableau pour consigner les résultats de ces simulations. Calculer la fréquence du
nombre de 1 obtenus dans chacun des tableaux. Que peut-on observer ? Commenter.
b) Effectuer 10 simulations du nombre de Pile obtenus lors de 50 lancers d’une pièce de monnaie
équilibrée. Quel lien y a-t-il avec la loi Binomiale ?
c) A l’aide d’un tableur, effectuer 1000 simulations d’une variable aléatoire X de loi binomiale B n; p ,
X np
et construire un histogramme des
avec n 100 et p 0. 2. Calculer les valeurs simulées de Y
np 1 p
fréquences correspondant.
3) Fluctuation d’échantillonnage d’une proportion
On tire une objet au hasard dans une production contenant une proportion p 0, 05 d’objets défectueux.
Le nombre d’objets défectueux obtenu en un tirage est une variable aléatoire X de loi de Bernoulli B p :
PX 1
p 0, 05 et P X 0
1 p 0, 95. On a E X
p 0, 05 et Var X
p1 p
0, 0475.
Si on effectue n 100 tirages avec remise d’un objet, on observe la réalisation de X 1 , X 2 , ... , X 50 ,
variables aléatoires indépendantes de même loi que X. On dit que l’on a un échantillon aléatoire simple de
taille n 100 de loi de Bernoulli de paramètre p 0, 05.
n
X1
La fréquence d’objets défectueux obtenus est la variable aléatoire F n
X 100
100
n
où
X2
Xi
i 1
n
X i représente le nombre d’objets défectueux obtenus en n tirages.
i 1
n
Ayant procédé par répétitions d’expériences indépendantes, nF n
X i est une variable aléatoire de la
i 1
loi Binomiale B n; 0, 05
B n, p .
On a donc nE F n
E nF n
np et n 2 Var F n
Var nF n
np 1 p , d’où E F n
p 0, 05 et
p1 p
0, 0475
Var F n
n
n .
On constate donc que lorsqu’on augmente la taille n de l’échantillon, l’espérance de F n reste constante,
égale à p, alors que la variance diminue.
a) Réaliser la simulation de 50 échantillons de 100 objets. Calculer la fréquence d’objets défecteux dans
chaque échantillon et représenter graphiquement ces fréquences. Que peut-on observer ?
b) Reprendre la question a) en simulant 100 échantillons de taille 500.
4) Complément : approximation de
par la méthode de Monte-Carlo
Ce calcul d’une valeur approchée de consiste à tirer au hasard des nombres x et y dans l’intervalle 0; 1 ,
autrement dit à simuler des valeurs de deux variables aléatoires indépendantes X et Y. Si x 2 y 2 1, le point
M x, y appartient à un quart de disque de rayon 1 : la probabilité pour qu’il en soit ainsi est
P X2 Y2 1
(résultat admis), ce qui correspond aussi au rapport des aires d’un quart de disque de
4
rayon 1 et d’un carré de côté 1.
En simulant un grand nombre n de points, et en désignant par k le nombre de ces points situés dans le
k
quart de cercle, on s’attend (loi des grands nombres) à ce que la fréquence f
n approche la probabilité
2
2
PX Y
1 . Ainsi, 4f approchera . Mais attention, la convergence est lente !
On peut observer une telle simulation sur http://jpq.pagesperso-orange.fr/proba/montecarlo/
Utiliser le tableur pour obtenir une approximation de .
Stéphane Ducay
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5) Résolution de deux exercices du chapitre "Variable aléatoire"
a) Enoncé de l’exercice 18
Une machine remplit automatiquement des boîtes de sucre en poudre de telle façon que le poids de
sucre effectivement contenu dans une boîte soit une variable aléatoire normale de paramètres et σ exprimés
en grammes. On souhaite régler la machine de sorte que le poids de sucre contenu dans une boîte dépasse 980
grammes avec une probabilité égale à 0,95.
i) Lorsque σ 30, quelle valeur faut-il donner à la moyenne ?
ii) Lorsque
1000, quelle valeur doit avoir l’écart-type σ ?
Résolution avec le tableur
i) Entrer la valeur de σ dans la cellule C3, et n’importe quelle valeur dans la cellule C2.
Saisir une formule de calcul de P X 980 dans la cellule F2, appelant les valeurs contenues dans
les cellules C2 et C3.
Utiliser l’outil "Valeur cible" du tableur (menu Données - Analyse de scénario) pour trouver la
valeur de satisfaisant la condition demandée.
ii) Mener un travail analogue à partir de
1000 pour trouver σ satisfaisant la condition demandée.
b) Enoncé de l’exercice 20
La demande mensuelle d’un produit obéit à une loi normale. Elle a une probabilité 0,1 d’être
inférieure à 15 000 unités (resp. supérieure à 25 000 unités).
i) Quels sont les paramètres de cette loi ?
ii) Calculer la probabilité qu’en un mois la demande dépasse 23 000 unités.
iii) Quel doit être le stock pour ne risquer une rupture qu’avec une probabilité d’environ 0.001 ?
Résolution avec le tableur
i) En raisonnant graphiquement, déterminer . En déduire σ satisfaisant les conditions demandées.
ii) Entrer une formule de calcul dans la cellule F9.
iii) Le stock doit être saisi dans la cellule D10, la probabilité de rupture dans la celulle F10.
Stéphane Ducay
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