Correction DS11

NOM : ______________
Devoir de Mathématiques n°11
1ère S3
Ex 1. Une urne contient deux billes vertes et 8 billes rouges, toutes indiscernables au toucher. Une partie consiste,
pour un joueur à effectuer deux tirages successifs avec remise d'une bille de l'urne. À la fin de la partie, si le joueur
a tiré deux billes vertes, il gagne un lecteur MP3. S'il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon, il ne
gagne rien.
a.
∩
= 0,2 × 0,2 = 0,04
La probabilité de gagner un lecteur MP3 est p=0,04.
b.
∩
+
∩
= 0,2 × 0,8 + 0,8 × 0,2 = 0,32
La probabilité de gagner un ours
en peluche est de 0,32.
c. Vingt personnes jouent chacune une partie.
Déterminer la probabilité, arrondi à 10 , que deux d'entre
elles exactement gagnent un lecteur MP3. On justifiera la réponse.
L'épreuve " tirer deux boules avec remise" comporte deux issues :
S : " les deux boules sont vertes" et ̅ " les deux boules ne sont pas vertes"
L'expérience consiste en une répétition de 20 épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes qui gagnent un MP3
sur les 20 ; X suit la loi binomiale de paramètres = 20 et = 0,04
20
=2 =
× 0,04 × 0,96 ≈ 0,146
2
d. On appelle le nombre de personne participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois. On note
la
probabilité que l'une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.
X suit la loi binomiale de paramètres et = 0.04
=
≥1 =1−
= 0 = 1 − 0,96
algorithme qui renvoie la plus petite valeur de
vérifiant
≥ 0,99.
N=113
À partir de 113 personnes, la probabilité d'avoir au moins
un gagnant du lecteur MP3 est supérieure à 0,99.
N prend la valeur 1
Tant que 1−0,96+ < 0,99
N prend la valeur N+1
FinTantQue
Afficher N
Ex2. L'entreprise pharmaceutique "Guéritout" affirme que son nouveau médicament contre l'hypertension "laprosil" est
efficace à 82 %. À partir d'un échantillon de 150 malades utilisant le "laprosil" ( la population est suffisamment grande
pour considérer qu'il s'agit de tirages avec remise), on obtient une fréquence $ des malades ne souffrant plus
d'hypertension.
On souhaite savoir pour quelles valeurs de $, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par le laboratoire, au seuil
de 5 %.
a) On fait l'hypothèse que l'entreprise dit vrai et que le taux de guérison du "laprosil" est = 0,82.
Justifier que la variable aléatoire X égale au nombre d'individus de l'échantillon guéris par le nouveau médicament suit
une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres.
L'épreuve " choisir un malade" comporte deux issues :
Succès : " Le malade est guéri de l'hypertension grâce au médicament" de probabilité = 0,82.
échec : " Le malade n'est pas guéri avec le médicament."
On répéte 150 fois de façon indépendante et identique cette même épreuve de Bernoulli.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres
= 150 et = 0,82
b) Déterminer l'intervalle de fluctuation J.
On cherche le plus petit entier & tel que
≤ ) ≥ 0,975
≤ & > 0,025 et le plus petit entier ) tel que
avec la calculatrice, on obtient & = 114 ; ) = 132 J = [
c. Énoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l'hypothèse
personnes guéries de l'échantillon.
.
/0
;
/0
]
= 0,82 selon la valeur de la fréquence $ des
Si la fréquence $ de l'échantillon appartient à l'intervalle de fluctuation J, l'hypothèse sur la
valeur de la proportion de la population est acceptable ; sinon l'hypothèse est rejetée au seuil
de 5 %
d. Sur 150 malades utilisant le "laprosil", 116 déclarent ne pas souffrir d'hypertension.
Peut-on considérer l'affirmation de l'entreprise pharmaceutique comme exacte ?
4
.
$=
∈ [ ; ], on peut considérer au seuil de 95 % que l'affirmation de l'entreprise est
/0
exacte.
/0
/0
Ex3. QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
1. On tire au hasard avec remise quatre cartes dans un jeu de 32 cartes.
X variable aléatoire qui compte le nombre d'as sur les 4 cartes tirées
.
X suit la loi binomiale de paramètres = 4 et = =
4
La probabilité de tirer exactement un as est :
=1 =
×
×
1
6
a)
2. On dispose dans une urne neuf jetons comportant les chiffres allant de 1 à 9. On prélève dans cette urne, au
hasard et avec remise, trois jetons.
X variable aléatoire qui compte le nombre de chiffre pair parmi les 3 jetons tirés
.
X suit la loi binomiale de paramètres = 3 et =
7
La probabilité d'avoir prélevé au moins un chiffre pair est :
. 0
/
/
4
≥1 =1−
= 0 =1 −
×
×
=1−
c)
7
7
7
0
3. Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise une banque de données contenant 6000
adresses dont 120 sont erronées.
On prélève au hasard avec remise 10 étiquettes parmi les 6000.
X variable aléatoire qui compte le nombre d'étiquettes erronées.
0
X suit la loi binomiale de paramètre = 10 et =
= 0,02
4000
La probabilité qu'exactement 3 de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :
0
/ 0 6
10
=3 =
×
×
d)
4000
4000
3
4) On lance une pièce de monnaie parfaitement équilibrée 5 fois de suite.
X variable aléatoire qui compte le nombre de pile sur les 5 lancers.
X suit la loi binomiale de paramètres = 5 et =
La probabilité d'obtenir exactement trois fois pile est :
5
5
=3 =
×
×
=
× 8 c)
3
3
Ex4. On estime qu'à un concours, un candidat a 20 % de chances de réussir. On considère un groupe de 25
candidats pris au hasard.
L'expérience consiste en une répétition de25 épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes ; la variable aléatoire X comptant le nombre de candidats ayant réussi le
concours suit la loi binomiale de paramètres = 25 et = 0,2
1)
=
≥1 =1−
= 0 = 1 − 0,8 / ≈ 0,996
La probabilité qu'au moins un candidat réussisse est d'environ 0,996.
≤2 =
=0 +
=1 +
= 2 ≈ 0,098
2) =
La probabilité qu'au plus deux candidats réussissent est d'environ 0,098.
3) nombre moyen de candidats qui réussissent = E(X)= × = 25 × 0,2 = 5
BONUS. p=
9
9
9:
>
9
; <9 = × × =
; <: =
; <B =
=
A
9@
9
?
×
9@
A
9@
?
×
9
9@
A
9
9@
=
C9 + 9@ +
9
>
A
; ; <= = × × ×
A =
9@
A =
9@
×
9
=
9@
?
?
9
9@
=
A
9@
×
9
9@
;
+⋯+
A B
9@
9
E = 9@ ×
A B
9
9
A B
9@
A
9@
Lorsque n devient de plus en plus grand
se rapproche de 0
9@
9
9
9
×
=
; < =
9:
9@ 9 − A
9@