Cours de maths - Terminale ES - Probabilités : lois à

Lois de probabilité à densité
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I – Loi à densité sur un intervalle
Contrairement à une variable aléatoire discrète, une variable aléatoire continue X prend un nombre infini de
valeurs dans un intervalle de .
Exemple de variable aléatoire continue
On lance une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on mesure la distance d entre le point d'impact et le
centre de la cible (en mètres). Le réel d peut prendre une infinité de valeurs dans l'intervalle  0;1 .
(On suppose que l'on dispose d'un outil de mesure "aussi précis que nécessaire".)
Définition 1: On appelle fonction de densité sur un intervalle  a ; b , a  b , une fonction f telle que :
• f est continue sur  a ; b 
• Pour tout x   a ; b , f ( x)  0
•

b
f ( x)dx  1
a

Définition 2: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans  a ; b  , munie d'une fonction de densité
f sur  a ; b  . On dit que P est la loi de probabilité de densité f lorsque pour tout intervalle
c ; d  inclus dans  a ; b , P  X  c ; d  est l'aire sous la courbe Cf
représentative de f limitée
par les droites d'équations x  c et x  d .
.
Cf
P  X   c ; d  

d
f ( x)dx
c

y  2x

Propriété 1: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans  a ; b  , munie d'une fonction de densité f
sur  a ; b  .
(1) Pour tout c ; d    a ; b , 0  P  X  c ; d   1 et P  X   a ; b 
(2) Pour tout c   a ; b , P  X  c   0 et P  X  c   P  X  c 

b
f ( x)dx  1
a
(3) Si c ; d   e ; f    alors P  X  c ; d   e ; f   P  X  c ; d   P  X  e ; f 
(4) Pour tout c   a ; b , P  X   a ; c   P  X  c ; b  1

II – Loi uniforme
La loi uniforme modélise l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un réel au hasard dans un intervalle  a ; b  .
On déduit de l'activité 2 la définition suivante.
Définition 3: On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur  a ; b  lorsqu'elle admet comme
densité de probabilité la fonction f définie sur  a ; b  par :
Cf
f ( x) 
1
, ab
ba
a
b
Propriété 2: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur  a ; b  .
Pour tout c ; d    a ; b , P  X   c ; d  
d c
ba

III – Espérance mathématique d'une variable aléatoire
Définition 4: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans  a ; b  , munie d'une fonction de densité f
sur  a ; b  . On appelle espérance mathématique de X le nombre E ( X ) tel que:
E( X ) 

b
x f ( x) dx
a

Propriété 3: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur  a ; b  .
E( X ) 
ab
2
IV – Loi normale centrée réduite
Définition 5: On dit qu'une variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite, notée  (0 ; 1),
lorsqu'elle a pour densité la fonction f définie sur
par :
f ( x) 
1
2
Cf
x2

e 2
Remarque : La fonction de densité de la loi normale centrée réduite f : x
1

x2
2
e
n'a pas de primitive
2
explicite. On utilise donc la calculatrice pour calculer une aire sous cette courbe.


Remarque : La courbe Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc :
P( X  0)  P( X  0)  0,5
Conséquence : P( X  2)  P( X  0)  P(2  X  0)  0,5  0, 48  0,02
P( X  1)  P( X  0)  P(0  X  1)  0,5  0,34  0,84

V – Loi normale
Définition 6: On dit qu'une variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) lorsque la variable
aléatoire
X 

suit la loi normale centrée réduite  (0 ; 1).
Remarques : • La fonction de densité de la loi normale  ( ; 2) est la fonction f : x
1
 2
1  x 
 

e 2  
2
.
• La courbe représentative de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x   .
x
Propriété 4: Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) alors son espérance est :
E( X )  
Définition 7: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale  ( ; 2).
On appelle écart-type de X le nombre noté  et variance de X le nombre noté V ( X ) tel que :
V (X )   2

Interprétation de l'écart-type
Plus l'écart-type  est grand, plus les valeurs de X sont dispersées autour de l'espérance  .
 1
  1,5
 3
Propriété 5: Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) alors :
P(     X     )  0, 68
P(   2  X    2 )  0,95
P(   3  X    3 )  0,997
