TP1

TP 1 - Simulation de variables aléatoires
continues - Agrégation externe de
mathématiques - 2006/2007
1
1.
Algorithme de Box-Muller
Soient
U
et
V
[0, 1]. On
Y dénies par
p
p
X = −2 ln(U ) cos(2πV ) et Y = −2 ln(U ) sin(2πV )
deux variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur
variables aléatoires
X
rappelle que les
et
sont indépendantes et de même loi normale standard
N (0, 1).
2. Utilisez le résultat précédent (algorithme de Box-Muller) et la fonction rand pour simuler
une v.a. de loi normale standard : eectuer
N
simulations, et comparer sur une même gure
l'histogramme des valeurs obtenues et la fonction densité théorique. Que pensez-vous du
résultat ?
3. Faire directement
N
simulations d'une loi normale standard à l'aide de la fonction randn.
Que pensez-vous du résultat ?
2
Simulation d'un vecteur gaussien
X = (X1 , ..., Xk ) est un vecteur gaussien de moyenne nulle et de
A ∈ Mk (R) est telle que AAt = C , alors Y = AX + µ est un vecteur
gaussien de moyenne µ et de covariance C . En déduire un algorithme de simulation de vecteurs
1.
On rappelle que si
covariance Identité, et
gaussiens.
2. Application : faire
N
simulations d'un vecteur gaussien de covariance
C
et de moyenne
µ
avec C=[5 3 2 ; 3 4 1 ; 2 1 2] et mu=[-2 1 4] (utiliser la fonction chol). Vérier les résultats à
l'aide des fonctions mean et cov.
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Théorème de la limite centrale
n variables aléatoires indépendantes uniformes sur [−1/2, 1/2].
N tirages indépendants de la somme de n v.a. indépen−1/2 et par leur écart-type.
dantes uniformes sur [−1/2, 1/2], normalisée par le facteur n
2. Faire l'histogramme des N valeurs obtenues, et le comparer sur un même graphique à la
fonction densité de la loi normale standard N (0, 1).
1. Faire
N
tirages indépendants de
En utilisant la fonction sum, obtenir
3. Tracer sur un même graphique, mais avec des couleurs diérentes, les fonctions de répar-
6,
et
F (x) = P(X ≤ x),
si
tition empiriques (consulter help cumsum) obtenues pour des valeurs de
n
allant de
1
à
comparer à la fonction de répartition de la loi normale standard (help erf).
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Méthode d'inversion
On rappelle le résultat suivant sur lequel s'appuie la méthode d'inversion :
La fonction de répartition d'une variable aléatoire
1
X
étant dénie par
U
est une variable aléatoire uniforme sur
de fonction de répartition
[0, 1],
alors
X = F −1 (U )
est une variable aléatoire
F.
1. Utiliser cette méthode pour simuler une loi exponentielle de paramètre
λ.
Faire
N
simu-
lations et comparer sur une même gure l'histogramme des valeurs obtenues avec la densité
théorique.
2. Faire de même pour une loi de Cauchy.
3. Faire de même pour une loi de Weibull de paramètres
a
et
b
strictement positifs, dont la
densité est donnée par
∀x ≥ 0, f (x) = abxb−1 exp(−axb ).
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Loi des grands nombres
1. Faire
N
X1 ,. . . ,XN d'une loi exponentielle de paramètre λ, et tracer ensuite sur
la fonction n 7→ (X1 + . . . + Xn )/n et la valeur E(X). Qu'observe-t-on ?
simulations
un même graphique
2. Faire de même pour une loi de Cauchy, et vérier expérimentalement que la loi des grands
nombres ne s'applique pas dans ce cas-là.
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Non vieillissement de la loi exponentielle
X est une variable aléatoire de loi exponentielle alors, pour tout x, s ≥ 0,
on a P(X ≤ x + s | X ≥ s) = P(X ≤ x) .
2. Illustrer le résultat précédent : faire N simulations d'une loi exponentielle et tracer sur
1. Montrer que si
un même graphique la fonction densité de la loi exponentielle et l'histogramme empirique de
X
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−s
sachant
X ≥ s.
Méthode de rejet
1. On rappelle le résultat suivant sur lequel s'appuie la méthode de rejet :
D0 deux domaines de Rk mesurables, de mesure nie et non nulle, et
D ⊂ D0 . Soit X un point aléatoire uniforme sur D0 , alors la loi conditionnelle de X
X ∈ D est la loi uniforme sur D .
Soient
D
et
tels que
sachant
Cette proposition se traduit par l'algorithme suivant pour simuler une variable aléatoire uniforme sur
D
:
Répéter
simulation de X uniforme dans D0
Jusqu'à (X ∈ D).
Quelle est la loi du nombre de parcours de cette boucle ? Quelle en est sa moyenne ?
2. Application : faire
N
simulations de la loi uniforme sur le disque unité de
R2
et visualiser
les points obtenus.
3. Toujours à propos de la simulation de la loi uniforme sur le disque, que pensez-vous de
la méthode suivante : on commence par choisir
uniforme entre
√
− 1 − x2
√
et
1 − x2 ?
Visualiser
x uniforme entre −1 et 1 puis on prend y
N simulations obtenues par cette méthode.
La loi est-elle uniforme ?
4. La méthode du rejet peut se généraliser à des lois non uniformes :
f et g deux densités de probabilité sur Rk telles qu'il existe une constante c vériant :
∀x ∈ Rk , cg(x) ≥ f (x). Soit X une variable aléatoire de densité g et U une variable aléatoire
de loi uniforme sur [0, 1], indépendante de X . Soit E l'événement cU g(X) < f (X). Alors
la loi conditionnelle de X sachant E a pour densité f .
Soient
On pourra démontrer cette proposition (on pourra commencer par calculer la probabilité de
E)
avec les éminents professeurs du LSP en charge du cours.
L'algorithme de simulation de la loi
f
à partir de
g
est alors le suivant :
Répéter
simulation de X de densité g
simulation de U uniforme sur [0, 1]
Jusqu'à (cU g(X) < f (X)).
Quelle est la loi du nombre de passages dans la boucle ?
5. Application : on considère la densité de probabilité
et
0
f
dénie par
f (x) = 1−|x| si x ∈ [−1, 1]
[−1, 1].
sinon. Simuler cette loi par la méthode de rejet à partir de la loi uniforme sur