Devoir de Mathématiques Devoir de Mathématiques n°7 Ex1. Ex2

NOM : __________________________
Devoir de Mathématiques n°7
n°7
1STMG2
Ex1.
On enquête auprès de la clientèle d’un service de dépannage. Il en ressort que 65 % des
utilisateurs se sont déclarés satisfaits.
On interroge au hasard 4 personnes ayant fait appel à ce service et on note S l’événement :
« la personne est satisfaite du dépannage. »
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de personnes satisfaites.
1. Préciser la loi suivie par la variable aléatoire X et donner ses paramètres.
X suit la loi binomiale de paramètres ݊ = 4 ݁‫ = ݌ ݐ‬0.65
2. a. Calculer la probabilité de l’événement { X = 3 } et interpréter concrètement le
résultat. ܲሺܺ = 3ሻ ≈ 0.384
La probabilité que 3 clients sur 4 soient satisfaits est de 0,384.
b. Calculer la probabilité qu’au moins une des personnes soit satisfaite.
ܲሺܺ ≥ 1ሻ = 1 − ܲሺܺ = 0ሻ ≈ 0,985
Ex2.
Un distributeur automatique de bonbons contient un très grand nombre de bonbons de
deux couleurs : soit rouge, soit blanc.
Il distribue de façon aléatoire un bonbon et un seul à la fois et la probabilité que ce soit un
bonbon rouge est ‫ = ݌‬0,1.
Huit enfants viennent successivement chercher un bonbon.
On note R l’événement : « le bonbon est rouge. » et B l’événement : « le bonbon est
blanc. »
On note X la variable aléatoire égale au nombre de bonbons rouges obtenus par les huit
enfants.
1. Quelles sont les valeurs prises par X ? X prend les valeurs entières entre 0 et 8.
X suit la loi binomiale de paramètres ݊ = 8 ݁‫ = ݌ ݐ‬0.1
2.a. ܲሺܺ = 2ሻ ≈ 0,149 ሺ arrondir au millième ሻ
b. La probabilité qu’il y ait deux bonbons rouges sur les 8 est
d’environ 0,149.
3. espérance de la loi X = ‫ܧ‬ሺܺሻ = ݊ × ‫ = ݌‬8 × 0.1 = 0.8
Sur un grand nombre de jours, les enfants obtiennent en moyenne
environ un bonbon rouge sur 8.
Ex3.
Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres ݊ = 8 et p=0,3.
Déterminer les probabilités suivantes en arrondissant au millième.
aሻ ܲሺܺ = 0ሻ ≈ 0,058 ; ܾሻ ܲሺܺ = 3ሻ ≈ 0,254 ; ܿሻ ܲሺܺ ≤ 5ሻ ≈ 0.989 ;
݀ሻ ܲሺܺ > 3ሻ = 1 − ܲሺܺ ≤ 3ሻ ≈ 0,194 ;
݁ሻ ܲሺܺ ≥ 6ሻ = 1 − ܲሺܺ ≤ 5ሻ ≈ 0.011
Ex4
Ex4.
Pour faire connaître l’ouverture d’un nouveau magasin vendant des chaussures de sport,
le directeur fait distribuer des bons publicitaires permettant de recevoir un cadeau
gratuit sans obligation d’achat.
Une enquête statistique préalable a montré que, parmi les personnes qui entrent dans le
magasin, 75 % présentent le bon publicitaire, distribué dans la zone commerciale.
Le directeur interroge au hasard 80 personnes entrées dans le magasin le jour de
l’ouverture.
On appelle S l’événement « le client présente le bon publicitaire. »
La situation consiste en une répétition de 80 épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes ; la variable X qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre de
clients qui présente le bon publicitaire, suit la loi binomiale de paramètres
݊ = 80 ݁‫ = ݌ ݐ‬0.75
1. Déterminer la probabilité des événements suivants ሺ arrondie à 0.001 près ሻ.
A : « 50 personnes parmi les 80 interrogées ont un bon publicitaire. »
ܲሺ‫ܣ‬ሻ = ܲሺܺ = 50ሻ ≈0,004
B : « au plus 60 personnes sur 80 ont un bon publicitaire. »
ܲሺ‫ܤ‬ሻ = ܲሺܺ ≤ 60ሻ ≈ 0.543
C : « au moins 70 personnes parmi les 80 interrogées ont un bon publicitaire. »
ܲሺ‫ܥ‬ሻ = ܲሺܺ ≥ 70ሻ = 1 − ܲሺܺ ≤ 69ሻ ≈ 0.005
2. Calculer le nombre moyen de bulletins utilisés sur 80.
‫ܧ‬ሺܺሻ = ݊ × ‫ = ݌‬80 × 0.75 = 60
Ex5.
Une urne contient dix boules rouges dont trois rouges.
On tire huit boules l’une après l’autre en remettant à chaque fois la boule tirée dans l’urne.
Cela constitue un prélèvement. On suppose l’équiprobabilité des tirages.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement ainsi défini, associe le nombre de
boules rouges obtenues.
1ሻ X suit la loi binomiale de paramètres ݊ = 8 ݁‫ = ݌ ݐ‬0.3
2ሻ ܲሺܺ ≤ 5ሻ ≈ 0,989
3ሻ ‫ܧ‬ሺܺሻ = 8 × 0,3 = 2,4.
Sur un grand nombre d’expériences, le nombre moyen de boules rouges
tirées sur les 8 boules est d’environ 2 ሺ car EሺXሻ=2.4 ሻ