Session 2014 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES

Session 2014
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures - Coefficient : 7 ou 9
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
1
Baccalauréat blanc Terminales S
Mathématiques
Exercice 1 sur 6 points
Cet exercice est commun à tous les candidats
On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par :
f (x) = ex
et g(x) = 1 − e−x .
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement Cf
et Cg , sont fournies ci-dessous.
y
Cf
~
~ı
x
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes qui sont tracées ci-dessus en pointillé.
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée des abscisses des points de contact.
Partie A
Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.
On note D l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse a et tangente
à la courbe Cg au point B d’abscisse b.
1° a) Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A.
b) Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B.
c) En déduire que b = −a.
2° Démontrer que le réel a est solution de l’équation 2(x − 1)ex + 1 = 0.
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Mardi 18 février 2014
Baccalauréat blanc Terminales S
Mathématiques
Partie B
On considère la fonction ϕ définie sur
R par
ϕ(x) = 2(x − 1)ex + 1.
1° a) Calculer les limites de la fonction ϕ en −∞ et +∞.
b) Calculer la dérivée de la fonction ϕ, puis étudier son signe.
R. Préciser la valeur de ϕ(0).
a) Démontrer que l’équation ϕ(x) = 0 admet exactement deux solutions dans R.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction ϕ sur
2°
b) On note α la solution négative de l’équation ϕ(x) = 0 et β la solution positive de cette équation.
À l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de α et β arrondies au centième.
Partie C
Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.
On note E le point de la courbe Cf d’abscisse α et F le point de la courbe Cg d’abscisse −α (où α est le
nombre réel défini dans la partie B).
1° Démontrer que le coefficient directeur de la droite (EF) est eα .
2° Justifier que la droite (EF) est une tangente commune aux courbes Cf et Cg .
Exercice 2 sur 5 points
Cet exercice est commun à tous les candidats
→
− →
−
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé O, u , v (unité graphique 2 cm).
On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = i, zB = 2i, et zC = 1.
On considère la transformation f qui à tout point M du plan d’affixe z, distinct de A, associe le point M 0
2iz
d’affixe z 0 =
.
z−i
On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
1° Déterminer l’ensemble des points invariants par la transformation f , c’est-à-dire l’ensemble des points
M tels que M = M 0 .
2° Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B0 et C0 , images respectives des points B et C
par f .
−2
3° a) Montrer que, pour tout point M distinct de A, l’affixe z 0 de M 0 vérifie l’égalité z 0 − 2i =
.
z−i
b) En déduire que si le point M appartient au cercle Γ de centre A et de rayon 1, alors son image M 0
appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
→
→
− −−−→
− −−→
c) Démontrer que u , BM 0 = π − u , AM
mod 2π.
√
4° On considère le point D d’affixe zD = − 3 + i et son image D0 par f .
a) Écrire zD sous sa forme exponentielle puis construire le point D.
b) Démontrer que le triangle ODD0 est rectangle en O.
c) Montrer que le point D0 est sur la parallèle à l’axe des réels qui passe par le point B.
d) Construire le point D0 en laissant les traits de construction.
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Baccalauréat blanc Terminales S
Mathématiques
Exercice 3 sur 4 points
Cet exercice est commun à tous les candidats
Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment. Tous les résultats seront donnés
sous la forme de fractions.
On dispose d’une urne U contenant trois boules blanches et deux boules rouges indiscernables au toucher.
Partie A
On considère l’expérience suivante : on tire successivement trois fois de suite une boule de l’urne U, en
remettant à chaque fois la boule dans l’urne. On appelle X le nombre de fois où on a obtenu une boule
rouge.
1° Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2° Calculer la probabilité d’avoir obtenu exactement une fois une boule rouge.
3° Déterminer l’espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.
Partie B
On procède maintenant à une nouvelle expérience :
– on tire une boule de l’urne U. Si elle est rouge on s’arrête, sinon on la remet dans l’urne et on tire une
boule à nouveau ;
– si cette deuxième boule est rouge, on s’arrête, sinon on la remet dans l’urne et on tire une boule pour la
troisième fois.
1° Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités.
2° On appelle Y le nombre de boules rouges obtenues lors d’une expérience. La variable aléatoire Y prend
donc la valeur 1 si la dernière boule est rouge et 0 sinon.
Calculer P (Y = 1) puis en déduire son espérance mathématique.
3° On appelle N le nombre de tirages effectués lors d’une expérience.
Calculer P (N = 1), P (N = 2) et P (N = 3) puis en déduire l’espérance mathématique de N .
4° On appelle proportion moyenne de boules rouges le rapport de l’espérance du nombre de boules rouges
obtenues sur l’espérance du nombre de tirages.
Montrer que la proportion moyenne de boules rouges dans l’expérience est la même que la proportion
de boules rouges dans l’urne.
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Baccalauréat blanc Terminales S
Mathématiques
Exercice 4 sur 5 points
Cet exercice est pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
un+1 =
√
2un .
1° On considère l’algorithme suivant :
Variables
Initialisation
Traitement
Sortie
n est un entier naturel
u est un réel positif
Demander la valeur de n
Affecter à u la valeur 1
Pour i variant de 1 à n √
Affecter à u la valeur 2u
Fin de Pour
Afficher u
a) Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit
n = 3.
b) Que permet de calculer cet algorithme ?
c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines
valeurs de n.
n
Valeur affichée
1
1,414 2
5
1,957 1
10
1,998 6
15
1,999 9
20
1,999 9
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un ) ?
2° a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 6 un 6 2.
b) En déduire que la suite (un ) est croissante.
c) Démontrer que la suite (un ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
3° On considère la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n, par vn = ln un − ln 2.
1
a) Démontrer que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison et de premier terme v0 = − ln 2.
2
b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction
de n.
c) Déterminer la limite de la suite (un ).
d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de
façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que un > 1, 999.
Variables
Initialisation
n est un
u est un
Affecter
Affecter
entier naturel
réel
à n la valeur 0
à u la valeur 1
Traitement
Sortie
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Mathématiques
Exercice 4 sur 5 points
Cet exercice est pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On se propose d’étudier les nombres de Mersenne, Mn = 2n − 1 où n est un entier supérieur ou égal à 2
puis de prouver que le dix-septième nombre de Mersenne est premier.
Partie A
1° Calculer M11 puis montrer qu’il n’est pas premier en justifiant votre démarche.
2° Vérifier que M13 est premier.
Partie B
Le but des questions suivantes est de montrer que le dix-septième nombre de Mersenne, N = 217 − 1 est
premier.
On admettra la propriété suivante (déduite d’un théorème de Pierre de Fermat) :
Si p est un nombre premier autre que 2, alors 2p−1 ≡ 1
mod p.
1° Vérifier que cette propriété est vraie pour p = 5 et p = 7.
2° Montrer que si pour un entier k, 2k ≡ 1 mod p alors pour tout entier n multiple de k, on a aussi
2n ≡ 1 mod p.
3° Soit p un diviseur premier éventuel de N .
a) Justifier que p est impair et que 217 ≡ 1
mod p.
b) Parmi tous les entiers n qui vérifient
≡ 1 mod p, on désigne par b le plus petit entier strictement
b
positif d’entre eux c’est-à-dire que 2 ≡ 1 mod p.
Soit n un entier tel que 2n ≡ 1 mod p. On remarquera que 17 est un de ces entiers.
En utilisant la division euclidienne de n par b, montrer que n est un multiple de b.
2n
4° a) Montrer que b divise 17 puis que b = 17.
b) En utilisant la propriété admise précédemment, déduire aussi que p − 1 est un multiple de 17.
c) Expliquer pourquoi il suffit de chercher p sous la forme 34m + 1 où m est un entier naturel.
√
5° Voici la liste des nombres de la forme 34m + 1 inférieurs à 217 − 1 :
35, 69, 103, 137, 171, 205, 239, 273, 307, 341.
Quels sont les nombres premiers de cette liste ?
Justifier que N = 217 − 1 est premier.
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