Corrigé du DS n 3 de Mathématiques - Tivomaths
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Lycée St-Joseph de Tivoli Premières S2 & S3 Vendredi 7 Novembre 2014 Corrigé du DS n°3 de Mathématiques - Fonctions de référence & Valeur absolue - Exercice 1 (≈ 5 points) • Résolution de (E1 ) : |7x − 3| = 11. Rappelons au préalable que : |X| = 11 ⇔ d(X; 0) = 11 ⇔ X = −11 Par suite, pour tout x ∈ R, (E1 ) ⇔ 7x − 3 = −11 ou ou 7x − 3 = 11 ⇔ x = − X = 11. 8 7 ou x=2 8 Ainsi, SE1 = − ; 2 . 7 .......................................................................................................... ™ ß • Résolution de (E2 ) : |1 − 5x| = |2x + 1|. Selon une propriété du cours, deux réels ont la même valeur absolue ssi ils sont égaux ou opposés. Par suite, pour tout x ∈ R, (E2 ) ⇔ 1 − 5x = 2x + 1 ⇔ 7x = 0 ou 1 − 5x = −(2x + 1) ou 3x = 2 ⇔ x = 0 ou x = 2 3 2 . 3 .......................................................................................................... Ainsi, SE2 = ß 0; ™ • Résolution de (I1 ) : 4 6 |5x + 6| < 7. Remarquons au préalable que : 4 6 |X| < 7 ⇔ 4 6 d(X; 0) < 7 ⇔ Par suite, pour tout x ∈ R, (I2 ) ⇔ 46X<7 . ou −7 < X 6 −4 2 1 − 6x< 5 5 4 6 5x + 6 < 7 ⇔ ou ou −7 < 5x + 6 6 −4 − 13 < x 6 −2 5 ò Ainsi, SI2 = − 13 2 1 ; −2 ∪ − ; . 5 5 5 ò ï ï Exercice 2 (≈ 6 points) 1. Considérons le trinôme P (x) = x2 − x − 6. On remarque que −2 en est une racine (évidente) et on a aussi : ∀ x ∈ R, P (x) = (x + 2)(x − 3). On en déduit alors le tableau de signes suivant : x x2 − x − 6 Corrigé disponible sur http://tivomaths.free.fr/ −∞ −2 + - 1/4 - 0 3 − 0 +∞ + LATEX 2ε Lycée St-Joseph de Tivoli Premières S2 & S3 Vendredi 7 Novembre 2014 2. Exprimons ϕ(x) sans valeur absolue selon les valeurs de x. Pour cela, dressons le tableau suivant : x −∞ x2 − x − 6 + 2 2 x −x−6 x −x−6 2+x − |2 + x| −2 − x ϕ(x) x2 − 4 −2 3 0 − 0 0 −x2 + x + 6 0 0 + 0 2+x −x2 + 4 +∞ + 2 x −x−6 + 2+x x2 − 2x − 8 On peut alors conclure que, pour tout x ∈ R, 2 x − 4 si x 6 −2 ϕ(x) = +4 si −2 < x 6 3 x2 − 2x − 8 si x > 3 −x2 3. Pour tout x ∈ R, 2 x − 4 = 1 si x 6 −2 2 ϕ(x) = 1 ⇔ −x + 4 = 1 si −2 < x 6 3 x2 − 2x − 8 = 1 si x > 3 ⇔ 2 x = 5 x2 =3 x2 − 2x − 9 = 0 si x 6 −2 si −2 < x 6 3 si x > 3 Or : √ √ ֒→ L’équation x2 = 5 admet deux solutions réelles, à savoir ± 5. Parmi ces deux réels, seul − 5 appartient à ] −∞ ; −2 ]. √ ֒→ L’équation x2 = 3 admet deux solutions réelles, à savoir ± 3. Ces deux réels appartiennent à ] −2 ; 3 ]. Ä √ ä2 ֒→ Enfin, le discriminant de x2 − 2x − 9 vaut 22 − 4 × 1 × (−9) = 2 10 . Ce trinôme admet donc deux √ √ √ racines réelles, à savoir 1 + 10 et 1 − 10. Parmi ces deux réels, seul 1 + 10 appartient à ] 3 ; +∞ [. Après les remarques précédentes, on peut alors conclure que : √ √ √ ϕ(x) = 1 ⇔ x = − 5 ou x = ± 3 ou x = 1 + 10. Exercice 3 On considère la fonction f définie sur R par f (x) = (≈ 3 points) 1 2 x + 2x − 1 . 3 1. Pour compléter le tableau (page 3), on pose : 1 × 9 + 6 − 1 = |8| = 8 • f (3) = 3 • f (0) = |−1| = 1 1 11 11 4 15 • f (−2) = ×4−4−1 = − = − = 3 3 3 3 3 Å ã 1 18 27 8 1 1 2 1 −8 • f × + −1 = + − = = = 3 3 9 3 27 27 27 27 27 2. Cf page 3. 3. Il s’agit ici d’utiliser une remarque du cours concernant les représentations graphiques de f et |f | dans un repère orthonormé. Cf page 3. Exercice 4 (≈ 6 points) Correction page 4. Corrigé disponible sur http://tivomaths.free.fr/ - 2/4 - LATEX 2ε Lycée St-Joseph de Tivoli Premières S2 & S3 Vendredi 7 Novembre 2014 Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annexe de l’exercice 3. • Tableau de valeurs de f . x 3 0 −2 f (x) 8 1 11 3 1 3 8 27 • Algorithme. 1 Variables : x, t et y sont des réels 2 Entrée : 3 Traitement : Demander à l’utilisateur un réel x 1 t prend la valeur x2 + 2x − 1 3 Si t 6 0 4 5 y prend la valeur −t 6 Sinon 7 8 y prend la valeur t : Sortie Afficher ”f (x) =”, y • Courbe de f . 6 Cf 4 CT 2 −8 −6 −4 2 −2 −2 −4 Tournez SVP. . . Corrigé disponible sur http://tivomaths.free.fr/ - 3/4 - LATEX 2ε Lycée St-Joseph de Tivoli Premières S2 & S3 Vendredi 7 Novembre 2014 QCM de l’exercice 4. Questions 1. La fonction x 7→ Réponses 1 : 1−x ✓ est strictement croissante sur ] −∞ ; 1 [ ❒ est strictement décroissante sur ] −∞ ; 1 [ n’est pas monotone sur ] −∞ ; 1 [ 2. Soit a un réel strictement positif. Dire que x ∈ [ 1 − a ; 1 + a ] signifie : |x| 6 1 + a ✓ |x − 1| 6 a ❒ |x − a| 6 1 3. Si x est un réel de l’intervalle ] 0 ; 1 [, alors : x2 − x > x2 − √ x √ ✓ x2 − x < x2 − x ❒ p (x − 1)2 = x − 1 4. Si a et b sont deux réels non nuls de signes opposés, alors : ✓ |a − b| = |a| + |b| ❒ |a − b| = |a| − |b| |a + b| = |a| + |b| 5. Combien de nombres entiers relatifs k sont √ solutions de l’inéquation k − 2 6 3 ? 3 5 ✓ 6 ❒ On considère une fonction g définie sur R dont la courbe dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous. 10 8 6 4 2 −4 −2 2 4 6 6. Donner l’équation réduite de la droite passant par A (0 ; 4) : y = −2x + 4 7. Donner l’équation réduite de la droite passant par B (4 ; 4) : y = 2x − 4 8. Donner une expression de g(x) à l’aide d’une valeur absolue : g(x) = |2x − 4| Corrigé disponible sur http://tivomaths.free.fr/ - 4/4 - LATEX 2ε