dm09 - Mathématiques PC2

Mathématiques - PC2 - Lycée Michel Montaigne
DM N◦ 9 - A remettre le Mardi 6 décembre 2011
« Déterminants circulants » - Extrait de l’épreuve des Petites Mines 1979
2π
Dans tout ce problème, n désigne un entier strictement positif, et on pose λ = e i n .
D’autre part, a0 , a1 , . . . , an−1 désignent n nombres complexes.
(1)
1. Déterminer les racines de l’équation xn − 1 = 0.
On ne donnera pas seulement le résultat, mais on le redémontrera !
n−1
X
2. Soit q ∈ Z. Calculer la somme :
λqj .
j=0
3. On considère les matrices A = (ars )1≤r,s≤n et B = (brs )1≤r,s≤n de Mn (C) définies par :
∀(r, s) ∈ J1, nK2 , ars = λ(r−1)(s−1)
brs = λ−(r−1)(s−1)
et
(a) Calculer A2 , B 2 , AB et BA.
(b) Calculer les déterminants des matrices A2 , B 2 , AB et BA.
On vérifiera que ces quatre déterminants sont des nombres réels, et on précisera leur signe suivant que n
est de la forme 4k, 4k + 1, 4k + 2 ou 4k + 3.
4. (a) Calculer le déterminant d’ordre n défini par :
1
a0
2
∆n (a0 , a1 , . . . , an−1 ) = a0
..
.
n−1
a
0
1
a1
a21
..
.
1
a2
a22
..
.
···
···
···
a1n−1
a2n−1
···
Y
(b) En déduire le module du nombre complexe Z =
0≤i<j≤n−1
5. On considère la matrice M de Mn (C) définie par :

a0
a1
 a1
a2

 a2
a
3

M = .
..
.
 .
.

an−2 an−1
an−1
a0
1
an−1
a2n−1
..
.
n−1
an−1
λj − λ i .
a2
a3
a4
..
.
···
···
···
an−2
an−1
a0
..
.
a0
a1
···
···
an−4
an−3

an−1
a0 

a1 

.. 
. 

an−3 
an−2
(a) Calculer les produits matriciels suivants : AM , M A, BM , M B, AM A, BM B.
On pourra introduire les complexes µj = a0 + λj a1 + λ2j a2 + . . . + λ(n−1)j an−1 pour tout j ∈ J0, n − 1K.
(b) On considère le polynôme P défini par P = a0 + a1 X + . . . + an−1 X n−1 . Exprimer le déterminant de la
matrice M à l’aide des complexes P (1), P (λ), . . ., P (λn−1 ).
(c) Expliciter ce résultat dans les cas n = 2, n = 3 et n = 4.
6. Résoudre, de trois manières différentes, le système suivant :


x + y + z = 2
x + jy + j 2 z = 1


x + j 2 y + jz = 1
Remarque : L’une des méthodes devra faire appel à l’une des questions de ce problème