Université des Sciences et Technologies de Lille Master 2

Université des Sciences et Technologies de Lille
Master 2, “Mathématiques pures” (2004-05)
Catégories modèles et algèbre homologique
Problèmes, Feuille 4
§1. Contractions
0. Problème : homotopies contractantes
Un complexe (C∗ , ∂∗ ) possède une homotopie contractante si on a une suite d’applications
σd : Cd → Cd+1 , d ∈ N, telles que
∂d σd + σd−1 ∂d−1 = IdCd
pour tout d ≥ 1. Montrer que dans cette situation on a Hd (C∗ , ∂∗ ) = 0 pour tout d ≥ 1, et que
par suite le complexe (C∗ , ∂∗ ) définit une résolution de H0 (C∗ , ∂∗ ).
§2. Résolutions
On considère dans les problèmes suivants des K-algèbres R munies d’un morphisme de Kalgèbres π : R → K, que l’on désigne comme le morphisme d’augmentation de R. Ce morphisme
donne une structure de R-module à l’anneau K. On explicite des résolutions libres de K dans la
catégorie des R-modules.
1. Problème : résolution libre sur l’algèbre des nombres duaux
On considère l’anneau des nombres duaux R = K[X]/(X 2 ). On note habituellement la classe
de la variable X dans R, de sorte que R = K[], avec 2 = 0. On a un morphisme d’augmentation
naturel π : K[] → K tel que π() = 0. Montrer que la suite de K[]-modules
π
· · · −−→ K[] −−→ K[] −−→ · · · −−→ K[] −−→ K.
forme un complexe et définit une résolution de K.
2. Problème : résolution libre sur l’algèbre d’un groupe cyclique
On considère l’algèbre d’un groupe cyclique d’ordre n. On a explicitement
R = K[τ ] =
n−1
M
K τi
i=0
avec τ n = 1. On a un morphisme d’augmentation naturel π : K[τ ] → K tel que π(τ ) = 1. On
pose ν = 1 + τ + · · · + τ n−1 . Montrer que la suite de K[τ ]-modules
1−τ
ν
1−τ
1−τ
ν
1−τ
π
· · · −−→ K[τ ] −−→ K[τ ] −−→ · · · −−→ K[τ ] −−→ K[τ ] −−→ K[τ ] −−→ K.
forme un complexe et définit une résolution de K.
Référence : C. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced
Mathematics 38, Cambridge University Press, 1994. Section 6.2.
3. Problème : complexes de Koszul et de Rham
On suppose que K est un corps de caractéristique nulle. Soit R = K[x1 , . . . , xn ]. On a un
morphisme d’augmentation naturel π : K[x1 , . . . , xn ] −−→ K tel que π(x1 ) = · · · = π(xn ) = 0. On
BF, Courriel: [email protected]
1
considère le K[x1 , . . . , xn ]-module Kd engendré par des éléments ei1 ,...,id , avec 1 ≤ i1 , . . . , id ≤ n,
et quotienté par les relations
ei1 ,...,ik ,ik+1 ,...,id = −ei1 ,...,ik+1 ,ik ,...,id
et
ei1 ,...,ik ,ik ,...id = 0.
On notera que les éléments ei1 ,...,id , tels que 1 ≤ i1 < · · · < id ≤ n, forment une base de Kd . On a
ainsi
M
Kd =
K[x1 , . . . , xn ] ei1 ,...,id .
1≤i1 <...<id ≤n
3.1) Soit κ∗ : Kd → Kd−1 l’application K[x1 , . . . , xn ]-linéaire telle que
κ∗ (ei1 ,...,id ) =
d
X
(−1)k−1 xik ei
1 ,...,ik ,...,id
k=1
.
b
La notation ibk signifie que l’on omet le terme ik de la suite (i1 , . . . , id ). Montrer que (K∗ , κ∗ ) forme
un complexe. C’est le complexe de Koszul.
3.2) Soit δ∗ : Kd → Kd+1 l’application K-linéaire telle que
δ∗ (P (x1 , . . . , xn )ei1 ,...,id ) =
n
X
(−1)i Px0 i (x1 , . . . , xn )ei,i
i=1
1 ,...,ik ,...,id
.
b
Montrer que (K∗ , δ∗ ) forme un complexe de cochaı̂nes (l’application δ augmente le degré). C’est
le complexe de de Rham de Kn .
3.3) On note Kd (m) le sous-K-module de Kd engendré par les monômes xr11 · · · xrnn ei1 ,...,id tels que
r1 + · · · + rn + d = m. Observer que les modules K∗ (m), pour m fixé, constituent un sous-complexe
de (K∗ , κ∗ ), de sorte que l’on a une décomposition du complexe de Koszul :
(K∗ , κ∗ ) =
∞
M
(K∗ (m), κ∗ ).
m=0
Prouver un résultat analogue pour le complexe de de Rham :
(K∗ , δ∗ ) =
∞
M
(K∗ (m), δ∗ ).
m=0
3.4) Prouver la relation (δ∗ κ∗ + κ∗ δ∗ ) = r Id sur Kd (r) ⊂ Kd . (C’est la relation d’Euler.) Utiliser
ce calcul pour prouver que (K∗ , κ∗ ) définit une résolution de K.
Référence : N. Jacobson, Basic algebra II, seconde édition, W. H. Freeman and Company, 1980.
Section 6.13.
4. Problème : construction Bar
4.1) On travaille avec un anneau de base K. Un produit tensoriel de K-modules sera noté E ⊗ F .
Soit R une K-algèbre associative. Soit M un R-module à droite. Soit N un R-module à gauche.
Soit Bd (M, R, N ) le K-module tel que
Bd (M, R, N ) = M ⊗ R ⊗ · · · ⊗ R ⊗M
{z
}
|
d
2
Soit ∂∗ : Bd (M, R, N ) → Bd−1 (M, R, N ) l’application K-linéaire telle que
∂∗ (x ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ad ⊗ y) = (x · a1 ) ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ ad ⊗ y +
d−1
X
(−1)i x ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ (ai · ai+1 ) ⊗ · · · ⊗ ad
i=1
+(−1)d x ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ad−1 ⊗ (ad · y)
pour un tenseur décomposable x ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ad ⊗ y ∈ M ⊗ R ⊗ · · · ⊗ R ⊗ M . Montrer que
(B∗ (M, R, N ), ∂∗ ) forme un complexe de R-modules. C’est le complexe Bar de R à coefficients
dans M et dans N . Montrer que H0 (B∗ (M, R, N ), ∂∗ ) = M ⊗R N .
4.2) Montrer que le complexe (B∗ (R, R, N ), ∂∗ ), avec M = R, définit une résolution de N et que
le complexe (B∗ (M, R, R), ∂∗ ), avec R = N , définit une résolution de M . Indication : On pourra
montrer que l’application K-linéaire (mais pas R-linéaire) σ : Bd (R, R, N ) → Bd+1 (R, R, N ) telle
que
σ(a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ad ⊗ y) = 1 ⊗ a0 ⊗ · · · ⊗ ad ⊗ y
définit une homotopie contractante.
4.3) Soit E un K-module. Observer que le produit tensoriel R ⊗ E possède une structure de
R-module naturelle. Observer que R ⊗ E forme un R-module libre si E est un K-module libre.
Conclure que le complexe (B∗ (R, R, N ), ∂∗ ) définit une résolution libre de N dans la catégorie
des R-modules à gauche dès lors que R et N sont libres en tant que K-module. Symétriquement,
le complexe (B∗ (M, R, R), ∂∗ ) définit une résolution libre de N dans la catégorie des R-modules à
gauche dès lors que R et M sont libres en tant que K-module.
4.4) Comparer cette résolution générale et naturelle (B∗ (R, R, M ), ∂∗ ) aux résolutions construites
dans les exercices précédents : on construira des morphismes f∗ : (C∗ , ∂∗ ) → (B∗ (R, R, M ), ∂∗ )
pour chacun des complexes (C∗ , ∂∗ ) considérés dans les exercices 2, 3 et 4. On suppose alors que
R est augmentée et on considère le module M = K.
Référence : C. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced
Mathematics 38, Cambridge University Press, 1994. Section 8.6.
§3. Complexes de polyèdres
5. Problème : le complexe d’un simplexe
On considère le simplexe
∆n = { (t0 , . . . , tn ) ∈ Rn+1 tel que 0 ≤ t0 , . . . , tn ≤ 1 et t0 + · · · + tn = 1 }.
Les sommets de ∆n sont les points ei , i = 0, . . . , n, tels que ti = 1 et tk = 0 pour k 6= i. On note
∆n (i0 , . . . , id ) = { ti0 ei0 + · · · + tid eid ∈ Rn+1 tel que 0 ≤ ti0 , . . . , tid ≤ 1 et ti0 + · · · + tid = 1 }
le simplexe engendré par les points (ei0 , . . . , eid ). Les simplexes ∆n (i0 , . . . , id ) associés aux suites
0 ≤ i0 < . . . < id ≤ n, décrivent l’ensemble des faces de ∆n .
Soit Cd (∆n ) le Z-module engendré par l’ensemble des faces de dimension d de ∆n :
M
Cd (∆n ) =
Z ∆n (i0 , . . . , id ).
0≤i0 <...<id ≤n
On considère l’opérateur de bord ∂∗ : Cd (∆n ) → Cd−1 (∆n ) tel que
∂∗ (∆n (i0 , . . . , id )) =
d
X
(−1)k ∆n (i0 , . . . , ibk , . . . , id ).
k=0
3
La notation ibk signifie que le terme ik est omis de la suite (i0 , . . . , id ). On notera que les simplexes
∆n (i0 , . . . , ibk , . . . , id ) représente précisément le bord du simplexe ∆n (i0 , . . . , id ). Intuitivement, le
signe correspond à des différences d’orientations. Montrer que (C∗ (∆n ), ∂∗ ) forme un complexe
et prouver que ce complexe est acyclique. Indication : On pourra montrer que l’application
σ∗ : Cd (∆n ) → Cd+1 (∆n ) telle que
σ∗ (∆n (i0 , . . . , id )) = ∆n (0, i0 , . . . , id )
définit une homotopie contractante. On convient que ∆n (0, i0 , . . . , id ) représente l’élément nul dès
lors que i0 = 0.
6. Problème : le complexe d’un cube
On considère le cube
n = { (t1 , . . . , tn ) ∈ [0, 1]n }.
On note (e1 , . . . , en ) la base naturelle de Rn . Les sommets de n sont en bijection avec les parties
I = {i1 , . . . , ir } de {1, . . . , n} et sont représentés par les points v(i1 , . . . , ir ) = ei1 + · · · + eir . Si
I = {i1 < . . . < im } et J = I ∪ {k1 < . . . < kd }, alors on considère le cube n (I, J) ⊂ n tel que
n (I, J) = { ei0 + · · · + eim + tk1 ek1 + · · · + tkd ekd où 0 ≤ tk1 , . . . , tkd ≤ 1 }.
Ces cubes n (I, J) associé aux paires d’ensembles I ⊂ J tels que #(J \ I) = d décrivent l’ensemble
des faces de dimension d de n .
Soit Cd (n ) le Z-module engendré cet ensemble des faces
Cd (n ) =
M
Z n (I, J).
I⊂J, #(J\I)=d
On considère l’opérateur de bord ∂∗ : Cd (n ) → Cd−1 (n ) tel que
∂∗ (n (I, J)) =
d
X
(−1)d−1 n (I ∪ {ke }, J) − n (I, J \ {ke }) .
e=1
On notera que les cubes qui apparaı̂ssent dans cette somme représentent précisément le bord de
n (I ⊂ J). Montrer que (C∗ (n ), ∂∗ ) forme un complexe et prouver que ce complexe est acyclique.
Référence : ??
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