Université d`Aix Marseille 1, Master de Mathématiques Analyse
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Université d’Aix Marseille 1, Master de Mathématiques Analyse numérique, Exercices éléments finis Exercice 1 Soit f ∈ L2 (]0, 1[). On s’intéresse au problème suivant : −u′′ (x) = f (x), x ∈]0, 1[, u(0) = 0, u(1) = 0. dont on a déjà étudié une formulation faible... Soient N ∈ IN, h = 1/(N + 1) et xi = ih, pour i = 0, . . . , N + 1, et Ki = [xi , xi+1 ], pour i = 0, . . . , N . Soit HN = {v ∈ C([0, 1], IR) t.q. v|Ki ∈ P1 , i = 0, . . . , N , et v(0) = v(1) = 0}, où P1 désigne l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 1. 1. Montrer que HN ⊂ H01 . 2. Pour i = 1, . . . , N , on pose : φi (x) = 1− 0 |x − xi | si x ∈ Ki ∪ Ki−1 , h sinon. Montrer que φi ∈ HN pour tout i = 1, . . . , N et que HN est engendré par la famille {φ1 , . . . , φN }. 3. Donner le système linéaire obtenu en remplaçant H par HN dans la formulation faible. Comparer avec le schéma obtenu par différences finies. Exercice 2 Soit f ∈ L2 (]0, 1[). On s’intéresse au problème : −u′′ (x) + u(x) = f (x), x ∈]0, 1[, u′ (0) − u(0) = 0, u′ (1) = −1. 1. Donner une discrétisation par éléménts finis P1 sur maillage uniforme de ce problème. 2. Même question pour le problème suivant : −u′′ (x) − u′ (x) + u(x) = f (x), x ∈]0, 1[, u(0) + u′ (0) = 0, u(1) = 1 (1)