T.P.3 : Résoudre un Laplacien en éléments finis P1 en dimension

T.P.3 : Résoudre un Laplacien en éléments finis P1
en dimension deux.
24 février 2009
On considère une membrane carrée dont on cherche à calculer la déformée en fonction d’un chargement de densité surfacique donnée et des conditions aux limites. L’objet de ce TP est l’écriture d’un code éléments finis P1 pour résoudre ce problème de
Poisson.
Problème de la membrane carrée fixée en ses 4 bords
Considérons le problème d’une membrane fixée sur son bord Γ et soumise à un
chargement d’intensité f .

 −∆u(x, y) = f (x, y)
 u=0
∀(x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]
sur Γ
(1)
On prendra successivement f = 1 et f (x, y) = sin(πx)sin(πy).
Problème de la membrane fixée sur deux bords parallèles
Considérons le problème d’une membrane carrée ABCD fixée sur ses bords horizontaux AB et CD et libre sur ses bords verticaux BC et AD et soumise à un chargement
d’intensité f .

−∆u(x, y) = f (x, y)





∀(x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]
u=0
sur AB
sur CD
= 0 surBC et AD
(2)


u=1


 ∂u
∂n
On prendra successivement f = 0, f = 1 et f (x, y) = sin(πx)sin(πy).
Question 1
Ecrire les formulations variationnelles de ces deux problèmes
1
2
Question 2
Rappeler la matrice élémentaire de raideur et écrire une “function” Matlab qui
calcule cette matrice avec en paramètres d’entrée : le numéro de l’élément, le tableau des
abscisses des points noté p et le tableau logique donnant la correspondance élémentsnoeuds noté t.
Question 3
On adoptera un calcul simplifié de la matrice de masse par la méthode des trapèzes
(condensation de masse). Les matrices devront être stockées comme matrice creuses
(sparse) afin de minimiser le stockage mémoire et accélérer le calcul. Ecrire le programme principal de calcul qui comportera les étapes suivantes : entrée des données
géométriques et physiques, entrée du nombre d’éléments et du maillage (très simple
ici), construction du tableau logique et du vecteur des abscisses, appel de la procédure
d’assemblage de la matrice de raideur, pénalisation des conditions de Dirichlet, calcul
du second membre et enfin calcul de la solution et tracé.
1.4
1.2
0.06
1
0.04
0.8
0.02
0
0.6
−0.02
0.4
−0.04
0.2
−0.06
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
0
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig. 1 – Membrane fixée sur son bord (cas 1) et membrane fixée sur ses bords horizontaux (cas 2).