Propagation d`ondes acoustiques dans un guide de section variable.

Propagation d’ondes acoustiques dans un guide de
section variable.
Patrick Joly
[email protected]
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Introduction
Ce projet est consacré à l’étude de la propagation d’une onde plane dans un guide d’ondes
de section localement variable. Afin de simplifier cette étude, on se place dans le cadre
d’un problème bidimensionnel et dans le cas du régime harmonique en temps.
Le guide d’ondes acoustiques considéré est constitué d’un ”tube” de section variable pour
|x| < L et de largeur constante égale à 2b pour |x| > L (voir Figure 1). Les parois supérieure
−
et inférieure du tube pour |x| < L, notées Γ+
S et ΓS , sont respectivement données par les
équations y = S + (x) et y = S − (x) .
On note ϕi (x, y) le potentiel des vitesses de l’onde plane incidente et on cherche le potentiel
total ϕ(x, y) solution du problème de Helmholtz :
(
4ϕ + k 2 ϕ = 0 dans Ω
(1)
ϕ
=0
sur Γ
où Ω désigne l’intérieur du guide, Γ sa frontière et k le nombre d’onde. Afin de résoudre
numériquement ce problème, nous allons en donner une formulation équivalente posée en
domaine borné. Celle-ci sera obtenue grâce à une technique de séparation de variables
effectuée dans la partie du guide de section constante.
2
Détermination de l’onde incidente
Supposons dans un premier temps que la section du guide soit constante, autrement dit
que S + (x) = b et que S − (x) = −b. On peut alors déterminer analytiquement les solutions
de l’équation de Helmholtz qui sont à variables séparées :
Ψ(x, y) = A(x)B(y)
On a alors à résoudre le problème :
(
4Ψ + k 2 Ψ = 0 dans R × ]−b, b [
Ψ
(2)
= 0 pour y = ±b
Question 1: Montrer que les solutions Ψ à variables séparées sont de la forme :
nπ
±iβn x
(y
−
b)
.
Ψ±
(x,
y)
=
γ
e
sin
n
n
2b
r
nπ 2
avec βn = k 2 −
, Re(βn ) > 0, Im(βn ) > 0, et γn ∈ R.
2b
On posera par la suite cn (y) = γn sin nπ(y − b)/2b et on choisira la constante γn de telle
sorte que kcn kL2 (]−b,b[) = 1. On admettra que la famille de fonctions (cn )n≥0 forme alors
une base orthonormale de L2 (]−b, b[) .
Il est important de remarquer ici qu’il existe un entier n0 tel que la constante βn , appelée
constante de propagation, soit réelle lorsque n 6 n0 , la fonction Ψn étant alors oscillante
suivant la direction Ox. On appelle ces solutions particulières des onde guidées. On notera
que parmi les ondes guidées, Ψ+
n correspond à une onde se propageant vers les x > 0 et
vers
les
x
<
0
,
puisque
les
solutions
harmoniques sont recherchées sous la forme :
Ψ−
n
Φ(x, y, t) = Re e−iωt Ψ(x, y)
2
Lorsque n > n0 , la constante βn est imaginaire et on a affaire à des solutions ayant des
comportements exponentiels à l’infini. Ainsi, Ψ+
n est exponentiellement décroissant quand x
tend vers +∞ et exponentiellement croissant quand x tend vers −∞, alors que la situation
est inversée pour Ψ−
n.
On choisira par la suite une onde incidente progressive dans la direction des
x > 0, autrement dit une onde de la forme
( +
Ψm (x, y) = e+iβm x cm (y)
si x < −L
ϕi (x, y) =
(3)
0
si x > −L
avec m 6 n0 .
3
Réduction à un domaine borné
Afin de pouvoir résoudre le problème initial (1) par une méthode d’éléments finis, il faut
se ramener à un problème posé en domaine borné. Nous allons voir comment la connaissance des solutions à variables séparées dans la région du guide de section constante
|x| > L permet d’aboutir à une telle formulation.
Décomposons la solution ϕ du problème (1) sous la forme :
ϕ = ϕ i + ϕd
ϕd s’appelant le potentiel de diffraction. Nous allons établir des formules explicites pour
ϕd dans les régions de section contante (x > L et x < −L). Pour ce faire, remarquons que
ϕd vérifie les équations :
(
4ϕd + k 2 ϕd = 0
si |x| > L
ϕd
=0
si |x| > L et |y| = b
D’un point de vue physique, le potentiel de diffraction correspond à une onde ”induite”
par la perturbation que constitue la variation de la section du guide. Par conséquent, cette
onde rayonnée étant physiquement bornée ou se propageant vers l’infini, le potentiel de
diffraction ϕd ne se décompose que sur les fonctions Ψ+
n en +∞ et que sur les fonctions
Ψ−
en
−∞.
n
Question 2 : Montrer que la solution ϕd admet les décompositions suivantes :
X
−iβn L
x > L : ϕd (x, y) =
(ϕd , cn )Γ+ Ψ+
n (x, y)e
L
(4)
n>0
x < −L : ϕd (x, y) =
X
n>0
3
iβn L
(ϕd , cn )Γ− Ψ−
n (x, y)e
L
(5)
où : (ϕd , cn )Γ± =
L
Z
ϕd (± L , y) cn (y) dy, avec Γ±
L = {x = ±L} × ]−b, b[ .
Γ±
L
En déduire que si l’on pose T ± (ϕd ) = −
P
n>0
iβn (ϕd , cn )Γ± cn , on a :
L
∂ϕd
= − T ± (ϕd ) ,
∂n |Γ±L
Cette relation nous fournit les conditions aux limites adéquates à imposer en Γ±
L pour
obtenir pour ϕ un problème posé dans le domaine borné ΩL = Ω ∩ {|x| < L}. En effet, il
suffit de substituer dans cette équation ϕd par ϕ − ϕi , ce qui donne :
∂ϕi
∂ϕ
= − T ± (ϕ) +
+ T ± (ϕi ) .
±
∂n |ΓL
∂n |Γ±L
Le problème (1) est alors équivalent au

4ϕ + k 2 ϕ





ϕ




 ∂ϕ + T± (ϕ)
∂n
problème posé dans le domaine borné ΩL :
= 0 dans ΩL
sur Γ±
S
=0
=
∂ϕi
+ T± (ϕi )
∂n
(6)
sur Γ±
L
Question 3 : Montrer que si l’onde incidente ϕi est donnée par (3), alors :
∂ϕi
+ T+ (ϕi ) = 0 sur Γ+
L
∂n
∂ϕi
+ T− (ϕi ) = −2iβm e−iβm L cm sur Γ−
L.
∂n
et
Remarque : il est préférable de choisir ϕi = e−iβm L Ψ+
m afin d’éviter de conserver un terme
exponentiel.
4
Formulation variationnelle et mise en oeuvre
−
On note VL0 le sous-espace de H 1 (ΩL ) formé des fonctions de trace nulle sur Γ+
S et ΓS .
Question 4 : Montrer que si l’onde incidente ϕi est donnée par (3), le problème aux
limites (6) admet la formulation variationnelle suivante :

Trouver ϕ ∈ VL0 tel que ∀v ∈ VL0



Z
Z
Z
Z
Z
(7)
−
+
2


g
v
T
(ϕ)v
=
T
(ϕ)v
+
ϕv
+
∇ϕ
∇v
−
k
i

ΩL
ΩL
Γ−
L
Γ+
L
où gi est une fonction que l’on précisera.
4
Γ+
L
On admettra pour la suite que ce problème variationnel admet une unique solution.
Afin de résoudre numériquement ce problème, on utilisera une méthode d’éléments finis
P1 sur un maillage réalisé à l’aide du logiciel EMC2. On note, par la suite, (wI )I=1,N les
fonctions de base globales associées à ce mailage et (T` )`=1,M l’ensemble des triangles du
maillage.
Question 5 : On considère le problème variationnel

Trouver ϕ ∈ H 1 (ΩL ) tel que ∀v ∈ H 1 (ΩL )



Z
Z
Z
Z
Z
2
+
−


∇ϕ ∇v − k
ϕv +
T (ϕ)v +
T (ϕ)v =

ΩL
Γ−
L
Γ+
L
ΩL
Γ+
L
gi v
(8)
Montrer que l’approximation par éléments finis de ce problème conduit à un système linéaire
de la forme :
K−k 2 M + T+ + T− X = B
(9)
où l’on donnera l’expression des différents termes.
Le calcul des matrices K et M est standard. Par contre, le calcul des matrices T± ne l’est
pas. En effet, les termes de ces matrices sont de la forme, pour T+
IJ par exemple :
X
T+
iβn (wI , cn )(wJ , cn )
IJ = −
n≥0
RL
où (wI, cn ) = 0 wI (L, y) cn (y) dy. On calculera ces termes de façon analytique car cn (y)
est une fonction oscillante et tronquera la série après n0 + N où N est un paramètre de
troncature.
Question 6 : Ecrire un programme de résolution par éléments finis du problème variationnel (7). En particulier, on écrira pour tenir compte des conditions de Dirichlet une
procédure de pseudo-élimination sur les matrices éléments finis et sur le second membre
issus du problème variationnel (8).
Question 7 : Afin de tester les conditions aux limites sur Γ±
L , effectuer un test préliminaire,
quiconsiste à supposer que le guide est de section constante. (on connait dans ce cas la
solution exacte !)
Question 8 : Représentez le potentiel total pour un cas test avec S + + S − = 0(guide non
symétrique). Vérifiez que la solution obtenue est, suivant les valeurs de m, rigoureusement
symétrique ou antisymétrique par rapport à l’axe du guide? Pourquoi? Vérifier la convergence de la méthode par rapport à la finesse du maillage, l’ordre de troncature N ou la
position L. Reprendre cette question avec un guide non symétrique.
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5
Bilan énergétique
Le but de cette dernière partie du projet est d’obtenir une équation de conservation de
l’énergie et de la tester numériquement.
Question 9 : Montrer en appliquant la formule de Green dans ΩL que le champ total ϕ
vérifie
Z
∂ϕ
ϕ = 0.
Im
+
− ∂n
ΓL ∪ΓL
où n désigne la normale extérieure à ΩL.
Cette équation montre que le flux d’énergie
Je = − Im
Z
∂ϕ
ϕ
∂n
Γ−
L
entrant à travers Γ−
L est égal au flux sortant
Js = Im
Z
Γ+
L
∂ϕ
ϕ
∂n
à travers Γ+
L , traduisant ainsi la conservation d’énergie dans le domaine Ω L .
Question 10 : Montrer que

2
X 

+
β
(ϕ,
c
)
J
=
n
n Γ 
 s
L
n≤n0
2
X 
+

−
,
c
)
J
=
β
−
β
(ϕ
−
Ψ
n
e
m
n

m
Γ

L
n≤n0
Donner l’interprétation physique des différents termes apparaissant dans cette relation.
Question 11 : Tester numériquement la relation Js = Je sur différents cas de simulation.
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