Méthode du Simplexe

A. Taik
TD SIMPLEXE-FI-GPE
TD SIMPLEXE-FI-GPE: Algorithme du simplexe
Feuille d’exercices No. 1
1. Résoudre les problèmes de programmation linéaire suivants à laide de lalgorithme du simplexe. Effectuer linterprétation graphique du déroulement du simplexe.:
2. Une entreprise vend deux produits quelle peut soit fabriquer elle-même soit acheter directement à une autre entreprise. Le problème est de savoir si cette entreprise a intérêt à produire
ou à acheter les produits. Une seule ligne de production est disponible ce qui limite la capacité à 400 heures machines. On donne le tableau suivant caractérisant le problème : Et le
tableau donnant les coûts et bénéfices en cas dachat à une entreprise qui na pas un réseau
de vente lui permettant de vendre directement le produit : Modéliser le problème en un
problème de programmation linéaire et le rèsoudre.
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FST-Mohammedia, (2007)
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3. Une entreprise fabrique 4 produits et vend le premier à 50dh le kilo, le second à 40dh, le
troisième à 70dh et le quatrième à 80dh. Son équipement ne lui autorise que 100 heures
machines alors quun kilo de produit 1 demande 2h, un kilo de produit 2 demande 4h, un
kilo de produit 3 demande 8h et un kilo de produit 4 demande 6h. De même, son potentiel
de main doeuvre est limité à 160h et quun kilo de produit 1, 2, 3, 4 demande respectivement
10, 8, 6, 10 heures de main doeuvre. Par ailleurs, les produits sont fabriqués à partir dune
matière première dont la quantité disponible est 20 kilos. La fabrication dun kilo de produit
1 ou 2 demande 1 kilo de matière première mais celle dun kilo de produit 3 et 4 demande 2
kilos de matière première.
a) Donner sous forme canonique le problème de programmation linéaire que doit résoudre
lentreprise pour maximiser son bénéfice.
b) Transformer le problème en un problème sous forme standard et le rèsoudre par la mèthode
du simplexe. Donner une interprétation économique des bases obtenues lors de lalgorithme.
4. Une entreprise fabrique deux types de ceinture A et B (A de meilleure qualité que B). Le
temps de fabrication dune ceinture de type A est le double de celui dune ceinture de type B
et si on ne produisait que des ceintures B on ne pourrait en faire que 1000 au maximum à
cause de disponibilité en équipement. Lapprovisionnement en cuir ne permet den fabriquer
que 800 au maximum. De plus lentreprise dispose de 400 boucles de ceintures pour le type A
et de 700 pour le type B. La vente dune ceinture A rapporte 20dh et celle du type B rapporte
15dh.
a) Répartir la fabrication entre les types A et B de manière à maximiser le profit de lentreprise.
b) Une entreprise concurrente ayant une commande importante propose à lentreprise de lui
racheter ses matières premières et de lui louer ses machines. Quel est le problème de programmation à r‘éesoudre permettant de connaitre les prix quelle doit proposer (pour cuir,
boucles A, boucles B, location de machine) à la première entreprise pour que celle-ci accepte?
5. Résoudre les problèmes de programmation linéaire suivants à laide de lalgorithme du simplexe (en introduisant si nécessaire des variables artificielles).
a) M ax(z) = 2x1 − x2
−x1 + x2 º 2
x2 ¹ 2
x1 + x2 º 4
x1 , x 2 º 0
b) M ax(z) = x1 + x2 + x3
x1 + x2 + 2x3 = 5
x1 − x2 = 1
x2 + x3 = 2
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x1 , x 2 , x 3 º 0
c) M in(z) = x1 + x2 + x3
−x1 + x2 + 2x3 º 5
−x1 + x2 ¹ −1
x2 + x3 º 2
x1 , x 2 , x 3 º 0
6. Résoudre sans utiliser de variable artificielles le problème suivant :
a) M ax(z) = −2x1 − 3x2
2x1 + x2 − x3 º 4
3x1 − x2 + 5x3 º 4
x1 , x 2 , x 3 º 0
En déduire la solution optimale du problème dual associé.
7. Une entreprise fabrique trois articles A,B,C à partir dun facteur de production P. Les ventes
mensuelles ne peuvent dépasser 6000 A, 15000 B et 9000 C. Lentreprise dispose chaque
mois de 180000 P au maximum. Il faut 8 P pour fabriquer un article A, 12 P pour un article
B et 10 P pour un article C. Quel est le programme de production mensuel qui maximise le
chiffre daffaires sachant quun article A est vendu 50 dirhams, une article B, 60 dirhams et
un article C, 80 dirhams?
8. Une société fabrique trois produits A,B,C. La chaı̂ne de montage comprend deux ateliers I
et II. Les capacités (en kWh/jour) des ateliers sont les suivantes : atelier I, 720 et atelier II,
480. Les caractéristiques de la production sont résumées dans le tableau ci-dessous. Quel
est le programme de production journalier optimal ?
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