Concours d`entrée en Ingénierie, 2012 Nom : Prénom : Test des

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Concours d’entrée en Ingénierie, 2012
Nom :
Prénom :
Test des connaissances en mathématiques
Durée : 2 heures
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Problème 1
Simplifier les expressions suivantes:
a)
(x 1)(x 4)
x2 6x + 5
b)
(x + y)2 (x y)2
x2 y + xy 2
c)
x
x
4
2
x
x
Donner toutes les solutions réelles des équations suivantes:
d) x2 + 4x
e) e2x + 4ex
1=0
1
1=0.
5
x 4
+
.
3 x2 5x + 6
2
Problème 2
Dans ce problème j désigne l’unité imaginaire.
a) Résoudre l’équation
1
1
1
+ =
.
2 + 3j z
1 j
b) Donner le module et l’argument du nombre complexe z1 =
j
où a 2 R.
1 + aj
⇣ ⇡
⌘
⇡ 2
c) Écrire le nombre z2 = ej 6 + ej 3
sous forme cartésienne.
3
4
Problème 3
Soit P la parabole d’équation y = x2 et soient x0 6= 0 et P0 = (x0 , x20 ).
a) Donner l’équation de la tangente à P au point P0 .
b) Donner l’équation de la normale (perpendiculaire) à P au point P0 .
On s’intéresse maintenant aux normales à P qui passent par le point Q = ( 2, 52 ).
c) Vérifier que la normale à P au point d’abscisse x0 = 1 passe par le point Q.
d) Donner les autres valeurs de x0 pour lesquelles la normale à P au point P0 passe par Q.
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Problème 4
a) Donner l’équation cartésienne de la droite d qui passe par les points A = ( 1, 5) et B = (2, 1).
b) Donner le rayon des cercles dont le centre est sur l’axe Oy et qui sont simultanément tangents à
l’axe Ox et à la droite d définie au point a).
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8
Problème 5
Soit f la fonction définie par f (x) = x2 ln x où ln x désigne le logarithme naturel de x.
a) Donner l’ensemble de définition de f .
b) Calculer f 0 et étudier son signe.
c) Calculer f 00 et étudier son signe.
d) Esquisser le graphe de f et préciser sur quels intervalles la fonction f est croissante, décroissante,
concave ou convexe.
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Problème 6
Calculer la solution générale de l’équation di↵érentielle
u00 (t)
5u0 (t)
14u(t) = t
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1.
Philippe Blanc
Février 2012
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