Corrigé 1. Combien de mots de cinq lettres peut

Corrigé
Test 1 : Dénombrements
SQ20
1. Combien de mots de cinq lettres peut-on écrire avec les 26 lettres de l’alphabet ?
2. Combien de ces mots ne contiennent que des lettres distinctes ?
3. Combien de ces mots comportent exactement quatre lettres distinctes (et donc une lettre répétée) ?
1. Pour la première lettre, il y a 26 choix possibles, pour la deuxième 26 choix aussi, etc... Cela fait
26 × 26 × 26 × 26 × 26 = 265 = 11 881 376 mots possibles.
2. Pour la première lettre, il y a 26 choix possibles, pour la deuxième 25 choix (une lettre est déjà
26!
prise), etc... Cela fait 26 × 25 × 24 × 23 × 22 = 21!
= 7 893 600 mots possibles.
3. Il faut choisir
une lettre parmi 26 (celle qui sera répétée), puis trois parmi les restantes. Ce qui
26
25
donne 1 × 3 . Chaque permutation de ces lettres donne un mot de cinq lettres, il faut donc
multiplier par 5!. Or, comme il y a une lettre qui se répète, on compte deux fois trop de mots
(voi1 ci2 et voi2 ci1 forment bien le même mot). Ce qui fait en tout
!
!
25 × 24 × 23 5 × 4 × 3
26
25
5!
×
= 1 794 000.
×
× = 26 ×
2!
3!
2
1
3
Pour en savoir plus sur les coefficients multinomiaux : http://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial˙
theorem.