Corrigé du DL n 6

Lycée St-Joseph de Tivoli
Première S
Février 2015
Corrigé du DL n°6
- Problème ouvert avec prise d’initiative -
Énoncé.
Pour fabriquer une casserole d’un volume de 2 litres, une entreprise veut minimiser le coût en utilisant le
moins de métal possible.
Comment doit-elle choisir le rayon et la hauteur de la casserole afin de réaliser cet objectif ? (on ne tient
pas compte ni de l’épaisseur du métal ni du manche)
........................................................................................................
Une solution.
Puisque l’énoncé précise qu’on ne tient compte ni de l’épaisseur du métal ni du manche, on est ramené à
considérer un cylindre.
Notons h sa hauteur (en dm) et r le rayon du disque de base (en dm). Rappelons que le volume d’un
cylindre de hauteur h et de base de rayon r est donné par V = π × r 2 × h.
Le volume de la casserole étant fixe et égal à 2 litres, c-à-d 2 dm3 , on doit donc avoir V = π × r 2 × h = 2.
Cette dernière égalité permet en particulier d’exprimer h en fonction de r ; on obtient immédiatement :
h=
2
πr 2
(⋆)
Minimiser le coût de production d’une telle casserole, c’est utiliser le moins de métal possible lors de sa
construction. Autrement dit, on cherche à ce que la surface du patron du cylindre ait une aire minimale.
Or, la surface du patron d’un cylindre de hauteur h et de base de rayon r est donnée par :
A =
2
+
πr
|{z}
aire du disque de base
h
× 2πr
| {z }
.
aire de la surface latérale dont le patron est
un rectangle
En utilisant (⋆), l’aire A précédente peut s’exprimer uniquement en fonction de r par :
A = πr 2 +
2
4
× 2πr = πr 2 + .
2
πr
r
Finalement, le problème revient à déterminer la valeur de r (∈ R+∗ car r est un rayon) pour laquelle l’aire
A est minimale.
4
On est donc amené à étudier la fonction f : x ∈ R+∗ 7→ πx2 + afin de déterminer le réel x0 en lequel elle
x
admet un minimum.
֒→ Clairement, f apparaı̂t comme la somme de deux fonctions dérivables sur R+∗ . C’est donc que f est
bien dérivable sur R+∗ .
2πx3 − 4
4
. Le dénominateur de f ′ (x) est strictement positif
֒→ Pour tout x ∈ R+∗ , f ′ (x) = 2πx − 2 =
x
x2
et f ′ (x) a donc le même signe que son numérateur 2πx3 − 4. Ce numérateur est un polynôme de
degré 3 dont l’étude du signe pose problème car n’est pas au programme de 1ère S. Néanmoins, au
moins deux façons permettent de s’en sortir.
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• À l’aide de la calculatrice graphique.
on procède comme un bon élève de 2nde .
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On laisse tomber l’étude du signe de la dérivée et
4
par la calculatrice.
x
Puis, à l’aide d’un point mobile sur la courbe de f dont s’affichent les coordonnées et en adaptant
une bonne fenêtre (par exemple xmin = 0, xmax = 2, ymin = 0 et ymax = 10), on peut donner
une estimation du réel x0 en lequel f admet un minimum.
On trouve x0 ≈ 0, 85.
• À l’aide du logiciel de calcul formel Xcas.
Puisqu’on ne sait pas étudier le signe de f ′ , utilisons le logiciel de calcul formel Xcas. Pour cela,
après avoir lancer le programme :
Pour cela, on fait tracer la courbe de f : x ∈ R+∗ 7→ πx2 +
◦ à la ligne 1, on définit (notez bien la présence du symbole := après f (x)) la fonction f que
l’on souhaite étudier ;
◦ à la ligne 2, on définit la fonction g comme étant la dérivée de f . Xcas répond « succès »
puis retourne l’expression de g(x) c-à-d de f ′ (x) ;
◦ à la ligne 3, on cherche les valeurs de x pour lesquelles f ′ (x) est positif c-à-d on demande de
Å ã 31
2
′
. Or, dans l’écriture
résoudre l’inéquation g(x) > 0. Xcas répond que f (x) > 0 ssi x >
π
1
Å ã3
2
1
du nombre qui apparaı̂t,
, vous constatez que la puissance n’est pas un entier ( ) et
π
3
vous ignorez à ce jour ce que cela signifie. C’est en terminale que vous le découvrirez. En
attendant, afin d’obtenir une approximation décimale de ce nombre, on passe à la ligne 4
suivante ;
◦ à la ligne 4, on demande à Xcas de nous donner une valeur approchée décimale du nombre
Å ã 31
2
;
π
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◦ à la ligne 5, on cherche les valeurs de x pour lesquelles f ′ (x) est négatif c-à-d on demande
Å ã 31
2
′
.
de résoudre l’inéquation g(x) < 0. Xcas répond que f (x) < 0 ssi x < 0 ou 0 < x <
π
+∗
Puisque vu le contexte de l’exercice nous étudions f sur R , nous ne retiendrons que les
Å ã 13
2
solutions positives, c-à-d les réels x tels que 0 < x <
.
π
Å ã 31
2
′
◦ à la ligne 6, on demande de résoudre l’équation f (x) = 0 et on retrouve le nombre
π
comme unique solution.
Finalement, grâce aux renseignements précédents donnés par Xcas, on peut dresser le tableau
de variation complet de f :
x
Ä ä1
2
π
0
f ′ (x)
−
f (x)
&
0
+∞
3
+
%
Å ã 31
2
C’est donc que f admet effectivement un minimum en une valeur x0 =
π
centième est 0, 86.
dont l’arrondi au
Ccl. En conclusion, pour minimiser le coût de fabrication, l’entreprise devra fabriquer des casseroles dont
le rayon de base est environ r = 0, 86 dm = 8, 6 cm.
2
2
D’après (⋆), la hauteur de la casserole devra aussi valoir h = 2 ≈
≈ 0, 86 dm = 8, 6 cm.
πr
π × 0, 862
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
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