Oscillations libres du circuit RLC série

Fiche Cours
Nº : 36006
PHYSIQUE
Série S
Thème : Electricité
Fiche 6 : Oscillations libres du circuit RLC série
Plan de la fiche
1. Définitions
2. Règles
3. Méthodologie
I - Définitions
• Circuit RLC série : circuit constitué de l’association en série d’une bobine (d’inductance L et de résistance r), d’un condensateur
(de capacité C) et d’un conducteur ohmique (de résistance R).
• Régime libre d’un circuit RLC série : régime pour lequel le circuit ne subit aucun apport d’énergie après l’instant initial. Cette
situation correspond à la décharge d’un condensateur dans un dipôle RL.
• Régime pseudo-périodique d’un circuit RLC série : régime pour lequel la tension u C aux bornes du condensateur présente
des oscillations amorties (oscillations dont l’amplitude décroît au cours du temps).
• Amplitude d’une grandeur : valeur absolue de la grandeur concernée.
• Régime apériodique d’un circuit RLC série : régime pour lequel la tension u C aux bornes du condensateur ne présente
pas d’oscillations et tend vers la valeur nulle. Le régime apériodique critique correspond à la situation où la tension u C tend le
plus rapidement vers la valeur nulle.
• Pseudo période : intervalle de temps entre deux maxima (ou deux minima) successifs d’un régime pseudo-périodique.
• Régime périodique d’un circuit LC : régime pour lequel les grandeurs électriques suivent des oscillations sinusoïdales, de
période T0 appelée période propre du circuit LC. Le circuit LC est un circuit idéal où la valeur de la résistance totale du circuit
est nulle : R TOTALE = r + R = 0.
• Période propre d’un circuit LC : T0 = 2 π × ( L × C )
1/ 2
.
II - Règle
Propriétés
• Propriété n°1
Dans le régime libre, l’équation différentielle de la tension u C aux bornes du condensateur s’établit de la manière suivante :
u R + u L + u C = 0 (application de la loi d’additivité des tensions) avec : u R = R i ; u L = r i + [ L × (d i / d t ) ] ; u C = q / C .
Compte tenu que : i = dq / dt, on en déduit : i = C × ( d u C / d t ) . Ce qui conduit à :
[R C × ( du
C
Soit : (d u C / d t
2
[
]
/ d t ) ] + [ r C × ( d u C / d t ) ] + L C × (d 2 u C / d t 2 ) + u C = 0 .
2
) + {[ ( R + r )/ L] × (d u
C
/ d t )}+ [ u C / (L C ) ] = 0 .
Le terme {[ ( R + r )/ L] × (d u C / d t )}est le terme d’amortissement.
Suivant la valeur de (R + r), on observe :
- un régime périodique si R + r = 0 ;
- un régime pseudo-périodique si R + r ≥ 0 ;
- un régime apériodique si R + r > 0.
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• Propriété n°2
Dans le régime périodique (circuit LC), l’équation différentielle de u C s’écrit : (d 2 u C / d t 2 ) + [ u C / (L C ) ] = 0
Compte tenu que q = C u C , on établit l’équation différentielle de q :
[(1 / C) × (d q / d t )] + [q / (LC )] = 0 .
Soit : (d q / d t ) + [ q / ( L C ) ] = 0
2
2
2
2
2
La solution générale de ces équations différentielles correspond à la situation où la fonction est égale à sa dérivée seconde. La
fonction cosinus présente cette propriété.
Donc : u C ( t ) = A cos {[(2π × t) / T0 ] + φ}
et q(t) = B cos {[(2π × t) / T0 ] + φ
A est l’amplitude des oscillations de u C .
B est l’amplitude des oscillations de q.
[(2π × t ) / T0 ] + φ est la phase des oscillations de u C et q.
A, B et φ sont des constantes qui sont déterminées à partir des conditions du circuit.
Les grandeurs u C et q sont continues, ce qui impose les conditions initiales du circuit LC :
u C (0) = U 0 et q(0) = C u 0
Avant la fermeture, l’intensité dans le circuit est nulle. La présence d’une bobine garantit la continuité de l’intensité : i(0) = 0
i(t) = C ( d u C / dt) = - (2π A / T0 ) sin {([ 2π × t) / T0 ] + φ }.
Or : i(0) = - 2 π A / T0 sin φ = 0, ce qui conduit à φ = 0 ou φ = π.
u C (0) = A cos φ = U 0 conduisant à φ = 0.
Soit :
u C ( t ) = U 0 cos [(2π × t) / T0 ]
q(t) = C U 0 cos [(2π × t) / T0 ]
i(t) = - (2π / T0 ) × U 0 × sin [(2π × t) / T0 ]
1/ 2
= − U 0 × ( C / L ) × sin [(2π × t) / T0 ]
Lorsque u C ( t ) est nulle, i(t) est maximale (ou minimale). Inversement, lorsque u C ( t ) est maximale (ou minimale), i(t) est nulle.
• Propriété n°3
Dans un circuit LC, le bilan énergétique traduit des allers-retours d’énergie entre le condensateur et la bobine :
(
2
)
(
)
(
2
E C = (1 / 2) × C u C = (1 / 2) × C U 0 × cos 2 [(2π × t) / T0 ]
2
2
E L = (1 / 2 ) × L i 2 = (1 / 2) × (L C 2 ) × 4 π 2 / T0 × U 0 × sin 2 [ ( 2 π × t ) / T0 ].
1/ 2
2
Or : T0 = ( L C ) . Ce qui conduit à : (L C × 4 π 2 ) / T0 = 1 .
L’énergie totale est :
(
)
E = E C + E L = (1 / 2 ) × C U 0
2
Soit : E = (1 / 2) × C U 0
(
2
)
)× {cos [( 2π × t ) / T ]}+ {sin [( 2π × t ) / T ]}.
2
2
0
0
Il y a un transfert périodique d’énergie entre le condensateur et la bobine. L’énergie totale emmagasinée dans le circuit reste
constante.
• Propriété n°4
Dans le régime pseudo-périodique, les oscillations présentent des amplitudes décroissantes.
La pseudo-période dépend des valeurs de r, L et C mais ne dépend pas des conditions initiales.
Pour des régimes pseudo-périodiques peu amortis, les pseudo-périodes sont quasi identiques.
L’équation différentielle traduisant l’évolution de u C s’écrit :
(d u
/ d t 2 ) + [ ( R + r ) / L ] × ( d u C / d t )+ [ u C / ( L C )] = 0 .
Compte tenu que i = C × ( d u C / d t )et u C = (q / C),
on en déduit : di / dt = C × (d 2 u C / d t 2 )
2
C
L’équation différentielle s’écrit alors :
[(1 / C) × (di / dt)] + {[(R + r) / LC] × i} + (q / L) = 0
Soit : [L × (di / dt)] + [(R + r)] i + (q / C) = 0
En multipliant les deux membres par i, on obtient :
2
[L × i × (di / dt)] + {[(R + r)] × i } + [(q / C) × (dq / dt)] = 0
Soit : {L × [d / dt (i 2 / 2)]} + {[(R + r)] × i 2 } + {(1 / C) × [d / dt (q 2 / C )]} = 0
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D’où : {[(R+ r)] × i } + {d / dt [L i 2 + (q 2 / 2 C )]} = 0
Or : E L = (1 / 2) × Li 2 et E C = (1 / 2) × (q 2 / C )
Soit : (R + r) × i 2 + (dE / dt) = 0
Ce qui conduit à (dE / dt) < 0 : une partie de l’énergie emmagasinée par le condensateur et la bobine est dissipée dans la résistance
(R + r) par effet Joule.
2
• Propriété n°5
Pour compenser les pertes énergétiques du dipôle RLC série, on envisage de lui associer un dipôle D qui lui restitue à chaque
instant l’énergie qu’il perd.
Le dipôle D se comporte comme une résistance négative, de même valeur absolue que (R + r) et telle que :
u D = - (R + r) i.
III - Méthodologie
• La période propre du circuit LC est : T0 = 2π × ( L × C )
Ce résultat peut se retrouver à partir de l’équation différentielle traduisant l’évolution de u C :
(d 2 u C / d t 2 ) + [ u C / ( L C ) ] = 0 .
Sachant que u C = U 0 cos [ ( 2π × t ) / T0 ], on obtient :
1/ 2
{− U
}
× ( 2π / T0 ) × cos [ ( 2π × t ) / T0 ] + {( U 0 / L C ) × cos [ ( 2π × t ) / T0 ]} = 0 .
2
0
D’où : − U 0 × ( 2π / T0 ) × cos [ ( 2π × t ) / T0 ] = − [ U 0 / ( L C )] cos [ ( 2π × t ) / T0 ] .
1/ 2
Soit par identification : T0 = 2π × ( L × C )
2
• La période propre du circuit LC est homogène à un temps
En effet, l’analyse dimensionnelle conduit à : [LC] = [L] × [C]
Or : u L = L × (di / dt) conduit à : [L] = {[U] × T} / I
et C = ( q / u C ) conduit à : [C] = {I × T} / [U]
1/ 2
Soit : [ L C] = T : homogène à un temps.
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