Circuits LC et RLC - Poly

POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section Orthoptiste / stage i-Prépa intensif -
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Chapitre 12 : Circuits LC et RLC
I.
Oscillations électriques libres non-amorties : Circuit LC
Soit un condensateur préalablement chargé par un générateur sous une tension E.
Le condensateur étant chargé, on a, à t = 0, q(0) = qmax = CE
On branche ce condensateur à présent en série avec une bobine d’inductance pure (c’est-à-dire de
résistance négligeable : r = 0)
a) Etude de l’évolution de la charge q dans le circuit LC :
=
Loi d’additivité des tensions :
=
∶ = −
=
ù:
−
²
,
²
= −
²
∶
²
̈ =
+
=0
,
̈ +
²
= −
⟹
1
+
∶
∶
²
²
²
=0
∶
=
Equation différentielle régissant les variations
de la charge q dans le circuit LC
⟹ Cette équation différentielle admet une solution de la forme :
∶
( )=
( )=
(
2
(
+
+
)
)
exemple de représentation graphique des variations de q dans un circuit LC
b) Pulsation propre et période propre :
é é
∶
̈+
é
1
=0
ℎ
̈+
∶
∶
=
2
=
=0
1
√
⟹
=
: pulsation propre circuit LC (en rad.
: é
(
2
0
∶
2
1
√
)∶
)∶
1
=
⟹
, −à−
∶
= 2 √
=
=
√
√
On dit période et pulsation propres car, une fois le système branché, plus aucun agent extérieur ne
vient modifier, dissiper ou apporter de l’énergie au circuit
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Autre démonstration de la formule de la pulsation propre :
L’équation différentielle admet une solution de la forme : ( ) =
̇( ) = −
.
̈ (t) = −
(
(
+
+
(
+
ssi : −
ssi :
=
+
)+
(
+
et, par suite :
=
.
.
+
ssi : −
√
=0
)
̈+
q solution de l’équation différentielle ssi :
ssi : −
)
(
(
+
)=0
+
)
=
)=0
√
Remarque :
L et C sont les seuls facteurs influençant la période :
·
·
Si L augmente,
Si C augmente,
augmente
augmente
c) Charge maximale
·
et phase à l’origine
:
dépendent des conditions initiales
exemple 1 : si, à t = 0, on enregistre les variations de q dès qu’on branche le condensateur
préalablement en série aux bornes de la bobine : ( ) =
ù:
(0) =
( = 0) =
( )
=
∶
(
⟹
( )=
4
)=
×0+
( )=1
(
)
⟹
( )
=0
·
exemple 2 : si, à t = 0, on enregistre les variations de q dès que toutes les charges sont,
pour la première fois, parties dans le circuit, et donc que le condensateur se trouve vide pour
la première fois : ( ) =
et ( ) < 0 (d’après le sens choisi sur le schéma)
(0) = 0
( = 0) =
ù: 0 =
(
( )
⟹
∶
( )=
=
( = 0) = −
∶
−
= −
.
∶
.
0
0
×0+
)=
( )=0
⟹
0
.
(
(0) < 0
(
0
×0+
( )<0
( )=
⟹
(
+
( )
=+
2
=−
)
+
)= −
5
)
.
( )>0
+
2
0
⟹
( )
=+
2
II.
Aspect énergétique des oscillations non-amorties :
=
Dans le condensateur,
et dans la bobine :
Donc l’énergie totale du circuit, appelée énergie électromagnétique :
=
1
2
+
=
. ²
1
. ²=
2
L’énergie électromagnétique d’un oscillateur électrique libre non-amorti est constante, c’est un
système conservatif.
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Il y a transfert de l’énergie électrique du condensateur en énergie magnétique dans la bobine, et viceversa : l’énergie oscille du condensateur à la bobine tous les quarts de période
Application :
à = 0,
à =
0
4
,
=
=
=
=
1
2
∶
III.
2
.
.
=
.
Oscillations libres amorties : circuit RLC
a) Equation différentielle régissant les variations de q dans un circuit RLC :
Considérons maintenant un condensateur se déchargeant dans une bobine de résistance r non
négligeable en série avec une résistance R
Loi d’additivité des tensions :
=
+
=
+
+
=
7
+ ( + )
∶ = −
=
ù:
,
∶
= −
+ ( + ). −
−
⟹
²
+
∶
+
∶
̈ +
²
= −
+ ( + )
( + )
̇=
+
1
̈=
( + )
̇+
²
²
−( + )
=0
=0
,
∶
=
Equation différentielle régissant les variations
de la charge q dans le circuit RLC
Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme :
( )=
.
(
)
. cos (
+
) ou
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( )=
.
(
)
. sin (
+
)
Remarques :
Ø
Ø
(
)
é
′
( + )
signifie donc que l’amplitude des oscillations diminue de façon
.
exponentielle au cours du temps
b) Influence de R : (en considérant que r << R )
® régime pseudo-périodique : si R relativement faible, l’amortissement influe uniquement sur
l’amplitude, la période est quasiment identique à T0
® régime apériodique : une résistance R élevée dans le circuit a des conséquences sur
l’amplitude maximale mais aussi sur la pseudo-période T : celle-ci augmente jusqu’à ne plus
exister du tout, le système revient alors à l’équilibre sans aucune oscillation
( ≈ régime
intermédiaire entre « encore une oscillation » et « plus aucune oscillation »).
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® régime critique : la valeur de R qui délimite les régimes pseudo-périodique et
apériodique est appelé résistance critique et vaut : R = 2
Résumé :
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−R
c) Aspect énergétique :
Pour un circuit RLC, l’amplitude des énergies diminue, le système n’est plus conservatif ; ceci est dû
aux pertes par effet-Joule dans la (ou les) résistance(s).
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