OSCILLATIONS LIBRES ( )

OSCILLATIONS LIBRES
I. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
I.1 Définition d’un oscillateur harmonique à un degré de liberté
a) Exemple du pendule élastique vertical
On considère une masse m accrochée à un ressort dans un plan vertical. On néglige les forces de frottement exercées
par l’air. On repère l’abscisse du point M par rapport à sa position d’équilibre.
• Système = Point matériel M de masse m
G G G
• Référentiel terrestre ℜ = O, i , j , k galiléen.
(
•
)
Bilan des forces :
G
G
¾ poids P = mg
G
G
G
force exercée par le ressort F . Le vecteur unitaire i est porté vers le bas. La force F est donc
G
portée par le vecteur i . L’énoncé ne donne pas la valeur de la longueur à vide du ressort. Il faut donc
l’introduire. On verra comment elle disparaîtra par la suite. On l’appelle l0. D’après le schéma, on a
G
G
l = leq + x . On a F = ± k ( l − l0 ) u x . Sur le schéma, le ressort est étiré, la force est donc dirigée vers le
G
G
haut, il faut donc mettre un signe – pour avoir une projection négative. Soit F = −k ( leq + x − l0 ) u x
G
G
G
G
PFD : ma = mg − k ( leq + x − l0 ) u x . On projette sur i .
¾
•
mx = mg − k ( leq + x − l0 ) (eq. 1)
On réécrit très souvent le PFD à l’équilibre ( x = 0, x = 0 et x = 0 ) . Il reste à faire la différence entre (eq 1) et (eq 2)
0 = mg − k ( leq − l0 )
(eq .2)
x + ω02 x = 0 avec ω0 =
(eq 1 ) – (eq 2) : mx = − kx , soit k
. C’est l’équation d’un oscillateur harmonique.
m
x ( t ) = X m cos (ω0 t + ϕ )
longueur à vide
équilibre
G
k
instant
G
i
l0
leq
G
F
O
M
G
P
G
j
l
O
G
F
x
M
G
P
b) Définition
Soit x(t) la coordonnées relative d’un degré liberté. Le système est un oscillateur harmonique si l’équation
différentielle régissant l’évolution x est de la forme : x + ω02 x = 0
I.2 Équations horaires
Pour passer de
x ( t ) = X m cos (ω0 t + ϕ ) ou x ( t ) = A cos (ω0 t ) + B sin (ω0 t )
{ A, B}
à
{ X m ,ϕ} ,
il suffit de développer X m cos (ω0t +ϕ ) = X m cos ωt cos ϕ − X m sin ωt sin ϕ :
 A = X m cos ϕ
B
⇒ X m = A2 + B 2 , tan ϕ = − , cos ϕ =

A
 B = − X m sin ϕ
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A
A + B2
2
.
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2π
= 2π f 0
T0
•
ω0 est la pulsation propre. La période est notée T0, la fréquence f0. On a ω0 =
•
•
Xm est l’amplitude. Elle est toujours positive. Si on a un terme négatif devant le sinus, on peut rajouter π à la
phase pour supprimer le signe moins.
ω0 t + ϕ est la phase à un instant t.
•
ϕ est la phase à t = 0.
On a une équation différentielle du deuxième ordre. Il faut donc deux conditions initiales, par exemple x ( 0 ) et
x ( 0 ) . On utilisera plutôt la forme avec A et B si l’énoncé demande de calculer explicitement x en utilisant les
conditions initiales. La forme avec Xm et ϕ est facile à interpréter physiquement : amplitude et phase à t.
La période T0 est indépendante des conditions initiales. On dit qu’on a un isochronisme des oscillations.
On va voir dans le paragraphe III l’importance des petits mouvements sinusoïdaux.
II. ÉQUIPARTITION DES FORMES CINÉTIQUES ET POTENTIELLES DE L’ÉNERGIE
II.1 Bilan énergétique à partir du PFD
On considère une masse m accrochée à un ressort
dans un plan horizontal. On néglige les forces de
frottement exercées par l’air. On repère l’abscisse du
point M par rapport à sa position d’équilibre. On
suppose que le point M se déplace sans frottement.
• Système = Point matériel M de masse m
G G G
• Référentiel terrestre ℜ = O, i , j , k galiléen.
(
•
)
Bilan des forces :
G
G
¾ poids P = mg
leq
G
ux
équilibre
O
x
instant t
G
f
G
R
M
G
G
l
P
réaction du support R . Comme il n’y
G G
G
G
a pas de frottement, R ⊥ u x , donc P et R se compensent.
G
G
G
¾ force exercée par le ressort f . Le vecteur unitaire i est porté vers le bas. La force f est donc portée
G
par le vecteur i . L’énoncé ne donne pas la valeur de la longueur à vide du ressort. Comme le ressort est
dans un plan horizontal, la longueur à l’équilibre est égale à la longueur à vide : leq = l0 . D’après le
G
G
schéma, on a l = leq + x . On a f = ± k ( l − l0 ) u x . Sur le schéma, le ressort est étiré, la force est donc
¾
dirigée vers la gauche, il faut donc mettre un signe – pour avoir une projection négative. Soit
G
G
f = −k ( l0 + x − l0 ) u x
G G G
G
• PFD : ma = P + R − kxu x .
On projette sur Ox : mx + kx = 0 .
+ kxx = 0
Pour faire un bilan énergétique, on multiplie par la vitesse : mxx
d 1 2
d 1 2
kx  = kxx et
mv  = mvv
Or
dt  2
dt  2


On en déduit que :
d 1 2 d 1 2
kx  +  mv  = 0
dt  2
 dt  2

Soit Em = Ec + E p = cte .
C’est tout à fait normal puisqu’il n’y pas de frottement. Toutes les forces sont conservatives.
II.2 Équipartition des forces cinétiques et potentielles de l’énergie
On a vu que : x ( t ) = X m cos (ω0 t + ϕ ) . La vitesse vaut : v = x = − X mω0 sin (ω0 t + ϕ )
2
k
1 2 1
1
1
mv = m ( − X mω0 sin (ω0 t + ϕ ) ) = mX m2 ω02 sin 2 (ω0 t + ϕ ) . Comme ω02 = , alors Ec = kX m2 sin 2 (ω0 t + ϕ )
m
2
2
2
2
1 2 1 2
E p = kx = kX m cos 2 (ω0 t + ϕ )
2
2
On peut en déduire la moyenne sur une période de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle sachant que
1
1
cos 2 (ω0 t + ϕ ) = et sin 2 (ω0 t + ϕ ) =
2
2
1 + cos ( 2 (ω0 t + ϕ ) )
T
1
Démonstration : cos 2 (ω0 t + ϕ ) = ∫ cos 2 (ω0 t + ϕ ) dt . Or cos 2 (ω0 t + ϕ ) =
T 0
2
Ec =
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cos (ω0 t + ϕ )
2
1
=
T
∫
T
1 + cos ( 2 (ω0 t + ϕ ) )
2
0
 t sin ( 2 (ω0 t + ϕ ) ) 
1
 +
 = + 0 car sin est 2π périodique.
4ω0
2
 2

0
T
1
dt =
T
1 2
1
kX m et E p = kX m2
4
4
On a donc équipartition des forces cinétiques et potentielles de l’énergie.
On a donc : Ec =
III. PETITS MOUVEMENTS AUTOUR D’UNE POSITION D’ÉQUILIBRE STABLE
III.1 Formule de Taylor
Lorsque b est voisin de a, on peut écrire sous certains conditions (voir cours de math) la formule de Taylor avec reste
2
n
( b − a ) ( n)
(b − a )
n
b−a
f '(a) +
f " ( a ) + ... +
f ( a ) + ε ( b − a )( b − a )
de Young : f ( b ) = f ( a ) +
1!
2!
n!
ε ( b − a ) est une fonction telle que blim
ε (b − a ) = 0 .
−a→0
En physique, on n’écrira pas le reste de Young.
(b − a )
b−a
Exemple : formule de Taylor à l’ordre 2 : f ( b ) ≈ f ( a ) +
f '(a) +
f "( a )
1!
2!
2
III.2 Parabolisation de l’énergie potentielle
G
On considère un mouvement à une dimension (abscisse x) dont la résultante des forces f dérive d’une énergie
potentielle.
On représente graphiquement l’énergie potentielle en fonction de x.
Ep
xe x
x
On cherche à étudier les petits mouvements autour de la position d’équilibre xe.
Pour cela, on applique la formule de Taylor à l’ordre 2 pour l’énergie potentielle.
2
( x − xe )  d 2 E p 
x − xe  dE p 
Si x est voisin de xe : E p ( x ) ≈ E p ( xe ) +



 +
1!  dx  x
2!  dx 2  x
e
e
( x − xe )
 dE p 
Comme xe est une position d’équilibre, on a : 
 = 0 . Il reste E p ( x ) ≈ E p ( xe ) +
2!
 dx  x
e
2
 d2 Ep

2
 dx


x
e
Ep
On dit qu’on a effectué une parabolisation de l’énergie potentielle.
On a une expression simplifiée de l’énergie potentielle au voisinage de xe.
xe x
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x
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III.3 Stabilité d’une position d’équilibre et énergie potentielle
On a vu dans le chapitre sur l’énergie que
•
 d2 Ep
l’équilibre est stable si l’énergie potentielle passe par un minimum, soit 
2
 dx
•
 d2 Ep
l’équilibre est instable si l’énergie potentielle passe par un maximum, soit 
2
 dx
III.4 Petits mouvements autour d’une position d’équilibre stable
Au voisinage d’une position d’équilibre stable, on a E p ( x ) ≈ E p ( xe ) +
(x − x )
e
2!
2

 > 0
x
e

 < 0
x
e
 d2 Ep 
 d2 Ep 
.
On
pose
k
=

 , soit
2 
 dx 2 

x
 dx  x
e
e
1
2
E p ( x ) ≈ k ( x − xe ) + cte . C’est l’énergie potentielle d’un ressort. Tout se passe comme si la résultante des forces
2
était équivalente à un ressort !!!
On peut en déduire la force simplifiée au voisinage de xe et l’équation différentielle du mouvement :
G
JJJJG
dE p G
G
f = −grad E p = −
u x = − k ( x − xe ) u x
dx
G
k
G
G
G
x + ( x − xe ) = 0 .
PFD au point matériel M : ma = mx u x = f = − k ( x − xe ) u x , soit m
d Em
=0.
dt
Remarque : On peut obtenir l’équation différentielle avec la méthode énergétique en écrivant que
 d2 Ep 
 dE p 
=
et
0
Si 


2 
 = 0 , il faut alors pousser le développement limité à l’ordre 3 pour trouver un terme non
 dx  x
 dx  x
nul. Le terme constant n’est pas intéressant physiquement puisque l’énergie potentielle est définie à une constante
additive près.
Au voisinage d’une position d’équilibre stable pour un mouvement à une dimension, on peut assimiler les forces
 d2 Ep 
qui s’exercent sur la particule à la force exercée par un ressort de constante de raideur k = 
 .
2 
 dx  x
e
e
e
IV. ANALOGIES ÉLECTROMÉCANIQUES
Exemple d’analogie électromécanique :
Pendule élastique horizontal : mx + kx = 0
q
Oscillateur LC : Lq + = 0
C
La méthode consiste à identifier terme à terme les deux équations différentielles pour en déduire l’analogie recherchée.
Pendule élastique horizontal
Circuit LC
x
q
x = v
q = i
m
L
k
1/C
ω0 =
k
m
ω0 =
1
LC
Dans d’autres problèmes, on peut donner des analogies différentes.
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V. OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI PAR FROTTEMENT FLUIDE EN RÉGIME
LIBRE
V.1 Exemple
On considère une masse m accrochée à un ressort dans un plan horizontal. Cette masse m est soumise au poids, à la
G
G
G
réaction du support, à la force exercée par le ressort f = − k ( l − l0 ) u x = − k x u x et à une force de frottement fluide
G
G
f = −λ v .
G G G
Le poids et la réaction du support se compensent : P + R = 0
Le PFD en projection sur Ox s’écrit : mx = − kx − λ x (1)
V.2 Définition
Soit x(t) la coordonnées relative d’un degré liberté. Le système est un oscillateur harmonique amorti par frottement
fluide si l’équation différentielle régissant l’évolution x est de la forme : x+
ω0
Q
x + ω02 x = 0
On rencontre trois formes canoniques :
1ère forme avec le facteur de qualité (la plus utilisée en physique) :
d 2 x ω0 dx
+
+ ω02 x = 0
dt 2 Q dt
Q : facteur de qualité ; ω0 : pulsation propre (ω0 > 0)
2
ème
forme canonique avec le coefficient d’amortissement (utilisée en SI) :
d2 x
dx
+ 2σω0
+ ω02 x = 0
dt 2
dt
1
2σ
d 2 x 1 dx
+ ω02 x = 0
3ème forme canonique avec le temps de relaxation : 2 +
dt
τ dt
σ : coefficient d’amortissement. On a Q =
τ : temps de relaxation.
En divisant l’équation (1) par m, on obtient :
V.3 Divers régimes
L’équation différentielle est :
d 2 x λ dx k
+
+ x=0
dt 2 m dt m
ω
d 2 x ω0 dx
+
+ ω02 x = 0 . L’équation caractéristique est : r 2 + 0 r + ω0 2 = 0
2
Q
dt
Q dt
 1

Le discriminant vaut : ∆ = 4ω0 2  2 − 1 . Il y a trois cas selon le signe du discriminant :
 4Q

a) Q < ½ ; ∆ > 0 : régime apériodique

 1

1
−
−1 
r1 = ω0  −
2

4Q

 2Q

On a deux racines réelles et négatives : 
 1

1

r2 = ω0  − 2Q + 4Q 2 − 1 



Les racines sont bien négatives puisque
1
1
et
−1 <
2
4Q
4Q 2
1
−1 <
4Q 2
1
1
=
2
4Q
2Q
On a donc :
x ( t ) = A exp ( r1t ) + B exp ( r2 t ) .
On a un régime apériodique, x passe au plus une fois par 0 et
lim x(t ) = 0 .
t →∞
b) Q = ½ ; ∆ = 0 : régime critique
On a une racine double : r = −
ω0
2Q
= −ω0 (puisque Q =
1
).
2
x ( t ) = ( A + Bt ) exp ( −ω0 t )
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On a un régime critique, Q = ½ et le retour à l’équilibre est le plus rapide.
c) Q > ½ ; ∆ < 0 : régime pseudo périodique amorti
ω
ω
1
On a 2 racines complexes : r = − 0 ± jω0 1 −
= − 0 ± jω .
2
2Q
4Q
2Q
On a donc un terme réel −
ω0
2Q
et un terme complexe ω = ω0 1 −
1
.
4Q 2
La solution est donc : x ( t ) = exp ( terme réel × t ) Qm cos ( terme imaginaire × t +ϕ )  .
 −ω
x ( t ) = exp  0
 2Q
ou

t   X m cos (ωt +ϕ ) 

 −ω
x ( t ) = exp  0
 2Q

t   A cos (ωt ) + B sin (ωt ) 

Les calculs sont plus simples avec la deuxième expression si on connaît les conditions initiales : x ( 0 ) et
dx
( 0) .
dt
d) Représentation graphique de x(t)
q (t )
Q0
1
Courbes tracées avec T0 = 1 s
x(0) = X0 et dx/dt (0) = 0
Q = 0,2
Q = 0,5
Q=6
0
1
2
3
4
5
6
7
t
-1
T = écart entre deux maxima successifs
T ≈ T0 ici car Q >>1 (en pratique Q ≥ 5).
Si Q > 0,5 :
•
 ωt
 t 
On a une enveloppe en exp  − 0  = exp  −  . τ joue bien le rôle d’un temps de relaxation puisqu’au bout de
2
Q
 2τ 


quelques τ, le régime libre devient négligeable et on aboutit à l’état d’équilibre (ici x ( ∞ ) = 0 ).
Si la force de frottement est faible, Q et τ sont grands.
•
1
On a un régime pseudo périodique amorti de pseudo période T :
1
ω = ω0 1 − 2 . Si Q >>1 (en pratique Q ≥ 5), alors1 ω ≈ ω0 ⇒ T ≈ T0 (voir courbe)
4Q
Cela revient à faire un développement limité. Si Q ≥ 5, on a néglige 1/(4 Q2)=1/200 devant 1.
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•
On peut avoir un ordre de grandeur du facteur de qualité en comptant le nombre de maxima d’amplitude non
négligeable. La courbe représentée ci-dessus a environ 6 maxima.
•
La détermination expérimentale du facteur de qualité se fait à partir du décrément logarithmique.
1  xSG (t ) 
Le décrément logarithmique vaut : δ = ln 
 avec n entier.
n  xSG (t + nT ) 
 −ω t 
 −ω nT
xSG ( t ) = exp  0   X m cos (ω t+ϕ )  , d’où xSG ( t + nT ) = exp  0
 2Q 
 2Q




 1   2π 
 1 
ω0 T
2π
π
=
= ω0 
= ω0 
δ=




2Q
 2Q   ω 
 2Q   ω 1 − 1  Q 1 − 1
 0
4Q 2 
4Q 2

Si Q 1 (en pratique Q ≥ 5 ), on a δ =
π
Q

 xSG ( t ) . On en déduit que :

. Cette relation sera utilisée en TP.
Le décrément logarithmique permet une détermination expérimentale du facteur de qualité. Il suffit de repérer
les maxima relatifs et d’en déduire δ. On peut alors remonter au facteur de qualité.
ATTENTION : le décrément logarithmique est défini pour le régime libre.
V.4 Étude énergétique du régime libre de l’oscillateur amorti
On reprend l’exemple de la masse m accrochée à un ressort.
L’équation différentielle est : mx = − kx − λ x
On multiplie par v = x pour faire un bilan énergétique.
= −kxx − λ x 2
On obtient : mxx
Or
d 1 2
d 1 2
kx  = kxx et
mv  = mvv
dt  2
d
t  2


On en déduit que :
d 1 2 d 1 2
kx  +  mv  = −λ v 2
dt  2
 dt  2

dEm
= −λ v 2 < 0
dt
L’énergie mécanique diminue au cours du temps. De l’énergie est dissipée par la force de frottement sous forme de
chaleur et évacuée dans le milieu extérieur.
V.5Stabilité
Si les coefficients de l’équation différentielle homogène ont le même signe (Q > 0 ici), alors le régime libre devient
négligeable au bout de quelquesτ. Il faut retenir que la stabilité d’un système du premier ou second ordre est assurée
dès que les coefficients de l’équation différentielle homogène ont tous le même signe, sinon on a un régime
divergent.
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VI. PORTRAIT DE PHASE
VI.1 Définition
Soit un système dont l’évolution est décrite au cours du temps par la fonction x(t).
On appelle trajectoire de phase d’un système à un degré de liberté un diagramme caractéristique des évolutions
du système représenté dans le plan ( x, x ) . Une trajectoire de phase est décrite à partir du point représentatif des
conditions initiales. L’ensemble des trajectoires décrites par le système à partir de toutes les conditions initiales est le
portrait de phase.
VI.2 Portrait de phase de l’oscillateur harmonique
L’équation différentielle qui régit un oscillateur harmonique
(pendule élastique (k, m), circuit L, C).
d2 x
+ ω02 x = 0 . La solution s’écrit alors :
dt 2
dx
x ( t ) = X m cos (ω0 t + ϕ ) et
= −ω0 X m sin (ω0 t + ϕ ) .
dt
 x (t )
= cos (ω0 t + ϕ )
(1)

 Xm
On a alors : 
− 1 dx = sin (ω t + ϕ ) (2)
0
 ω0 X m dt
Pour éliminer t, il suffit d’écrire (1)2 + (2)2.
x2
x 2
On obtient : 2 + 2 2 = 1 .
X m ω0 X m
La trajectoire de phase est donc une ellipse centrée sur O.
Souvent, on représente x(t) en abscisse et h =
x
ω0
en ordonnées.
On a alors x 2 + y 2 = X m2 .
La trajectoire de phase est un cercle centré sur O.
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O
VI.3 Portrait de phase du pendule simple
y
a) Étude théorique
Soit une masse m accrochée à une tige de masse négligeable.
• Système = Point matériel de masse m.
G G G
• Référentiel ℜ = O, i , j , k terrestre supposé galiléen
G
G G
• Bilan des forces :
T est une force conservative car δ WTG = T ⋅ dl = 0
G
P est une force conservative qui dérive d’une énergie potentielle :
E p = mgl (1 − cos θ )
(
l
θ
)
G
T
M
x
G
uθ
G
ur
G
P
• Le système est donc conservatif. L’énergie mécanique se conserve.
On calcule la constante en utilisant les conditions initiales.
1
G
G
Em = mv 2 + mgl (1 − cos θ ) . Dans la base des coordonnées polaires, on a v = lθuθ . On a donc :
2
2
1
Em = m lθ + mgl (1 − cos θ ) = cte .
2
On a trois méthodes pour obtenir l’équation différentielle :
d Em
+ mglθ sin θ = 0 ,
Méthode 1 : Il suffit d’écrire
= 0 pour avoir l’équation différentielle : ml 2θθ
dt
g
g
d’où θ + sin θ = 0 . On pose ω02 = . On a alors θ + ω02 sin θ = 0 .
l
l
Remarque : on est obligé de diviser par θ qui est une solution parasite. C’est normal d’obtenir cette solution
( )
parasite car on obtient le théorème de l’énergie cinétique en partant du PFD et en multipliant par la vitesse.
G G
Méthode 2 : Écrire le PFD et projeter dans la base ( ur , uθ ) .
Méthode 3 : Écrire le théorème du moment cinétique.
Remarque importante : pour un pendule pesant (balancier d’une horloge), écrire le théorème du moment
1
cinétique ou la conservation de l’énergie mécanique, on obtient : Em = Jθ 2 + mga (1 − cos θ ) = cte avec a
2
distance entre O et G le barycentre du solide en rotation.
•
Portrait de phase Il faut trouver une relation entre θ et θ . On ne sait pas résoudre dans le cas général l’équation
différentielle précédente. Il faut utiliser la conservation de l’énergie mécanique qui donne directement une
2
1
1 2
relation entre θ et θ . Em = m lθ + mgl (1 − cos θ ) = cte1 . En divisant par
ml , on obtient :
2
2
g
θ 2 + 2 (1 − cos θ ) = e , soit
l
2
θ + 2ω 2 (1 − cos θ ) = e . Pour déterminer la constante e, il faut utiliser les conditions initiales.
( )
0
2
 θ 
En divisant par ω02 , on a :   + 2 (1 − cos θ ) = cte2 .
 ω0 
b) Utilisation de Maple
Pour tracer avec Maple les portraits de phase, on représente h =
θ + ω02 sin θ = 0 s’écrit :
θ
en fonction de θ . L’équation différentielle
ω0
θ
+ ω0 sin θ = 0 , soit h + ω0 sin θ = 0 .
ω0

θ
h =
ω0
Avec Maple, on résout numériquement le système à deux équations différentielles : 

h + ω0 sin θ = 0
On cherche les conditions initiales θ 0 = 0 et θ0 permettant au pendule d’atteindre le point le plus haut θ = π et
θ = 0 .
θ
0 + 2ω02 (1 − cos π ) = θ0 2 + 2ω02 (1 − cos 0 ) , soit θ0 2 = 4ω02 et θ0 = 2ω0 et h0 = 0 = 2 .
ω0
Avec Maple, prendre h0 = 1,98 puis 2 puis 2,02.
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Prendre d’autres conditions pour retrouver les courbes ci-dessous.
Analyse de quatre trajectoires de phase :
(1) : On a un cercle. On a donc des oscillations sinusoïdales. Caractère harmonique de l’oscillateur.
(2) : 120°, forte amplitude des oscillations. Trajectoire non sinusoïdale ; caractère non harmonique de
l’oscillateur. On n’a pas un cercle. ( e < 4ω02 )
(3) θ a un signe constant (ici θ > 0 ), on a un mouvement révolutif. On l’obtient en cas limite avec
θ = 180° et θ = 0 , soit e = ecritique = 4ω02
(4) trajectoire critique entre mouvements oscillatoires et révolutifs. ( e > 4ω02 ) .
On a une infinité d’attracteurs de phase : ( 2nπ , 0 ) .
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VI.4 Portrait de phase de l’oscillateur harmonique amorti
d2 x ω
L’équation différentielle s’écrit : 2 + 0 x + ω02 x = 0 .
dt
Q
Si Q > 0, on a trois régimes (régime pseudo périodique amorti, critique, apériodique) selon le facteur de qualité : Q >
1/2 , Q =1/2 et Q <1/2.
Avec Maple, tracer plusieurs trajectoires de phase : Q = 6 puis 0,2 puis 0,5 et -5.
x (m)
1
0.8
Q=6
0.6
0.4
Q=200 10-3
0.2
0
-0.2
Q=500 10-3
-0.4
-0.6
-0.8
1
2
3
4
5
6
Courbes tracées avec T0 = 1 s, x(0) = 1 et x ( 0 ) = 0
7
t (s)
T = écart entre deux maxima successif. T ≈ T0 car Q 1 (en pratique Q ≥ 5 )
h (m.s-1)
0.6
0.4
0.2
Q=200 10-3
0
Q=6
-0.2
Q=500 10-3
-0.4
-0.6
-0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Si Q > 0,5 :
•
•
-
ω0
t
−
0.8
1
x (m)
t
On a une enveloppe en e 2Q = e 2τ . τ joue bien le rôle d’un temps de relaxation puisqu’au bout de quelques τ, le
régime libre devient négligeable et on aboutit à l’état d’équilibre (ici x ( ∞ ) = 0 ).
Si la résistance R est faible, Q et τ sont grands, le circuit RLC est peu amorti. Interprétation physique : il y a peu de
pertes par effet Joule.
1
On a un régime pseudo périodique amorti de pseudo période T : ω = ω0 1 −
.
4Q 2
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Si Q >>1, alors2 ω ~ω0 ⇒ T ~T0 (voir courbe)
•
On peut avoir un ordre de grandeur du facteur de qualité en comptant le nombre de maxima d’amplitude non
négligeable. La courbe représentée ci-dessus a environ 6 maxima. La détermination expérimentale du facteur de qualité
se fait à partir du décrément logarithmique.
VI.5 Portrait de phase du pendule simple amorti
d2 x ω
L’équation différentielle s’écrit : 2 + 0 x + ω02 sin x = 0 .
Q
dt
On observe un mouvement oscillatoire amorti (spiral) précédé d’une phase révolutive pendant n tours si l’attracteur est
de rang n ( 2nπ , 0 ) .
VI.6 Interprétation physique
a) Interprétation des portraits de phase
•
Interpréter le sens de parcours des trajectoires de phase : à partir de M0 sur le graphe suivant, on part
nécessairement vers le bas puisque θ diminue et donc θ < 0 .
•
Une trajectoire de phase fermée traduit un système oscillatoire.
•
Une trajectoire de phase circulaire (ou elliptique si θ en fonction de θ ) traduit des oscillations sinusoïdales :
oscillateur harmonique.
•
Une trajectoire de phase tel que θ > 0 traduit un mouvement révolutif.
•
Le point O est un attracteur des trajectoires de phase.
•
Les trajectoires de phase ne se coupent pas. C’est une conséquence du déterminisme en mécanique classique.
En effet, deux trajectoires issues d’un point d’intersection M0 correspondrait à deux évolutions différentes à
partir des mêmes conditions initiales.
b) Réversibilité
Un critère simple de réversibilité : un film projeté à l’envers est-il réaliste ?
On envisage un renversement du temps en posant t’ = -t.
b1) Pendule simple amorti
d 2 x ω dx
L’équation différentielle est : 2 + 0
+ ω02 sin x = 0 .
dt
Q dt
Supposons qu’à un instant t, le système soit en M 1 θ1 , θ1 . On relance le système à partir du point θ1 , −θ1 qui
(
)
(
)
correspond au point M’1 symétrique de M1 par rapport à l’axe θ = 0 . On obtient une nouvelle trajectoire de
phase. Le système ne remonte pas le temps mais poursuit son amortissement.
2
Cela revient à faire un développement limité. Si Q ≥ 5, on a négligé 1/(4 Q2)=1/100 devant 1.
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dx
dx
d 2 x d  dx  d  dx 
d  dx  d 2 x
=−
et 2 =   =  −  = −  −  = 2
dt
dt '
dt  dt  dt  dt ' 
dt '  dt '  dt '
dt
2
ω
d x
dx
L’équation différentielle s’écrit :
− 0
+ ω02 sin x = 0
d t '2 Q d t '
Si on pose t ' = −t .
Cause de l’irréversibilité : la dérivée d’ordre 1 traduit le caractère dissipatif du système
à cause de la force de frottement.
b2) Pendule simple non amorti
L’équation différentielle est :
d2 x
+ ω02 sin x = 0 .
dt 2
Si on pose t ' = −t , l’équation différentielle s’écrit :
d2 x
+ ω02 sin x = 0 . C’est la même équation différentielle.
d t '2
Le système est réversible.
Supposons qu’à un instant t, le système soit en M 1 θ1 , θ1 . On relance le système à partir du point θ1 , −θ1 qui
(
)
(
)
correspond au point M’1 symétrique de M1 par rapport à l’axe θ = 0 . On reste sur la même trajectoire de phase.
Le système peut remonter le temps en repassant par la suite des ses états antérieurs.
La trajectoire de phase est symétrique par rapport à l’axe θ = 0 .
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