Amortissement et facteur de qualité d`un circuit RLC.

¤ PCSI ¤ 2012 / 2013. TD Séance 6.
m
o
c
.
b
Amortissement et facteur de qualité d’un circuit RLC.
On considère le circuit RLC série représenté sur la figure ci-dessous. On définit les quantités suivantes : la
1 L
1
pulsation propre o 
et le facteur de qualité Q 
.
R C
LC
e
w
a
l
o
h
L’interrupteur K est fermé à un instant t = 0 choisi comme origine des temps. Le condensateur est
initialement chargé : u(t = 0-) = uo.
k
.
w
1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u(t) pour t  0 . On y fera apparaître o et Q. Préciser les
1
différents régimes d’évolution possibles selon les valeurs de Q. On suppose Q  dans la suite.
2
2. Etablir l’expression de u(t) pour t  0 , compte tenu des conditions initiales que vous expliciterez et
justifierez. On introduira la pseudo-pulsation  des oscillations libres en fonction de o et Q.
Définir le temps caractéristique d’amortissement des oscillations libres en fonction de o et Q.
3. On souhaite visualiser la tension u(t) sur l’écran d’un oscilloscope dont l’entrée est modélisée par
l’association en parallèle d’une résistance Ro  1, 0 M et d’une capacité Co =11 pF.
3.1 Montrer que si l’on tient compte de l’oscilloscope, l’équation différentielle vérifiée par u(t)
 du 
d 2u  L
R
devient : L  C  Co  2    RC  RCo   1   u  0
dt
 Ro
 dt  Ro 
w
w
3.2 Quelles relations qualitatives doivent vérifier R, L, C , Ro et Co pour que la mise en place de
l’oscilloscope ait une influence négligeable sur les oscillations étudiées. On suppose pour la
suite de l’exercice ces conditions réalisées.
u t 
2
3.3 On définit le décrément logarithmique comme étant la quantité d m  ln
où T 
u  t  mT 

et m est un entier strictement positif. Exprimer d m en fonction de m et Q.
3.4 On réalise un montage expérimental où le circuit RLC est excité par un générateur basses
fréquences. Comment faut-il choisir le signal délivré par le générateur pour observer les
oscillations libres du circuit ?
La tension aux bornes du condensateur est enregistrée par un logiciel d’acquisition. Le signal
obtenu est représenté sur la figure suivante :
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
h
k
.
w
w
w
Estimer le facteur de qualité Q du circuit.
1
4. On suppose Q  : la dissipation d’énergie par effet Joule est traitée comme une perturbation par
2
rapport au cas du circuit non dissipatif (R = 0).
4.1 Dans le cas où R = 0, établir l’expression de la valeur moyenne temporelle  E  de l’énergie
stockée dans le circuit.
4.2 Dans le cas où R  0 , montrer qu’au premier ordre en 1/Q, l’énergie WJ dissipée par effet
2
Joule dans le circuit RLC, pendant une période, vérifie la relation : WJ 
 E .
Q
To
  t
  t 
Q
1 
On donne :  exp   o  sin 2 o t 
2Q sin 2o t  cos 2o t  exp   o  
2 
o 1  4Q 
 Q 
 Q  0
0
To