Université Louis Pasteur Strasbourg IUFM d`Alsace
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Université Louis Pasteur Strasbourg IUFM d’Alsace Préparation au CAPES de mathématiques Thème : fonctions polynômes Exercice proposé Soit n ∈ N∗ . On considère une fonction polynomiale Pn vérifiant les propriétés suivantes : (i) Pn (0) = 0 (ii) Pn est de degré n + 1 . (iii) pour tout réel x, Pn (x + 1) − Pn (x) = xn . (1) Déterminer P1 , P2 et P3 . (2) Montrer que pour tout n, entier strictement positif, Pn (1) = 0 et que le 1 coefficient de son terme de degré le plus élevé est . n+1 (3) Soit k ∈ N∗ . Montrer que pour tout n, entier strictement positif : k X j n = 1n + 2n + ... + (k − 1)n + k n = Pn (k + 1). j=0 (4) En déduire les expressions des sommes : 1 + 2 + 3 + ... + n 1 + 22 + 32 + ... + n2 1 + 23 + 33 + ... + n3 (5) Déterminer 14 + 24 + ..... + n4 . Travail demandé (1) Quelles connaissances et quels savoir-faire sont nécessaires pour résoudre cet exercice ? Quelles difficultés présente-il ? (2) L’exercice proposé permet de déterminer les sommes 1 + 2 + 3 + ... + n et 1 + 22 + 32 + ... + n2 . Rédiger un exercice de niveau lycée permettant d’établir d’une autre manière ces résultats. (3) Proposer deux exercices mettant en oeuvre des fonctions polynomiales. Vous rédigerez sur votre feuille les réponses aux questions (2) et (3). 1