Devoir de synthese n
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Devoir de synthese n
Lycée H. Pacha Mars 2005 Devoir de synthese n◦2 Épreuve de mathématiques. Durée : 3 heurs. Sujet A Exercice 1 ( 5 points ) − → Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O; → e1 , − e2 ) ( unité graphique : 4 cm ) π √ i On donne dans P les points A, B et C d’affixes respectives u = 3 + i , v = 1 + e 6 et π i w = −1 + e 6 . 1/ Donner la forme trigonométrique de u. 2/ Placer avec précision les points A, B et C. 3/ Montrer que les points O, A, B et C sont sur un même cercle (C) dont ont précisera le centre et le rayon. 4/ Déduire la nature du quadrilatére OBAC. Exercice 2 ( 4 points ) On considère le nombre complexe z = cotg θ + i où θ est un réel de l’intervalle ]0, π[. eiθ . sin θ − → 2/ Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé (O; → e1 , − e2 ) , on donne les points z −3iθ iθ . A, M et N d’affixes respectives : zA = 1, zM = e et zN = e z a) Écrire zN sous forme trigonométrique. 1/ Vérifier que z = b) Déterminer θ pour que le point O soit le centre de gravité du triangle AM N . Problème ( 11 points ) Partie A Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par : g (x) = 1 −1 e2x 1/ Déterminer les limites de g à droite en 0 et en +∞. Interpréter graphiquement les résultats. 2/ Calculer g 0 (x). Étudier le sens de variation de g puis dresser sont tableau de variation. 4ème année sciences expérimentales 1 Lycée H. Pacha Mars 2005 Partie B On considère fonction f définie sur ]0, +∞[ dont la courbe représentative C dans un repère la − → − → orthogonal O; i , j est donnée sur la feuille annexe avec sa tangente au point d’abscisse e. On admet l’égalité suivante : f (x) = 2x a (Log x)2 + b Log x + c où a, b et c désignent trois réels. 1/ a) Exprimer f 0 (x) en fonction de a, b et c. b) Á l’aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de: √ 1 0 f , f 0 ( e) , f 0 (e). e c) En déduire pour tout x ∈ ]0, +∞[, l’égalité f (x) = 2x 2 (Log x)2 − 3 Log x + 2 2/ a) Vérifier que : lim f (x) = 0 et lim f (x) = +∞ . x→0+ x→+∞ b) Montrer pour tout x ∈ ]0, +∞[ l’égalité : f 0 (x) = 2 (Log x + 1) (2 Log x − 1) c) Étudier le signe de f 0 (x) et dresser le tableau de variation de f . Partie C − → → − 1/ Tracer, dans le repère O; i , j de la feuille annexe, la courbe représentative Γ de la fonction g étudiée en partie A. 1 3 2/ Soit ϕ la fonction définie sur , par ϕ(x) = f (x) − g(x). 10 10 1 3 a) Montrer que, pour tout x appartenant à , , on a ϕ0 (x) > 0. 10 10 1 3 b) Montrer que l’équation f (x) = g(x) possède une solution unique α sur , . 10 10 Partie D 1/ Montrer que pout tout x > 0, f (x) > 0. 2/ On définit la fonction h sur ]0, +∞[ par l’expression suivante : h = g ◦ f . a) Déterminer les limites en 0 et en +∞ de h. b) Déterminer le sens de variation de h sur ]0, +∞[. c) Montrer que h(α) = g ◦ g(α). Déterminer un encadrement de h(α) d’amplitude 10−2 . 4ème année sciences expérimentales 2 Lycée H. Pacha Mars 2005 4ème année sciences expérimentales 3