Polynômes, racines 1 Polynômes 2 La division euclidienne 3

Université Pierre et Marie Curie
1M001
Polynômes, racines
1
Polynômes
P
Définition. Un polynôme sur C s’écrit P (X) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 = nk=0 ak X k où
ak ∈ C sont appelés coefficients. Si an 6= 0, le degré de P est n. Si les ak sont des réels, P est dit
être un polynôme réel ou polynôme sur R.
Exemple. 2 + iz est un polynôme de degré 1. 4i + z 3 est un polynôme de degré 3.
Notation. L’ensemble des polynômes sur C est noté C[X], celui des polynômes sur R est noté
R[X]. On notera le degré de P degP .
Remarque. P +Q et P Q donnent encore des polynômes. On a deg(P +Q) ≤ max(degP, degQ).
deg(P Q) = degP + degQ.
Remarque. La composition Q ◦ P donne encore un polynôme.
2
La division euclidienne
Proposition. Soit A et B 2 polynômes, avec B différent du polynôme nul. Alors on peut trouver
2 polynômes Q et R, où le degré de R est strictement inférieur au degré de B tels que
A(X) = B(X)Q(X) + R(X).
Cette décomposition est de plus unique.
Exemple. Faire la division de X 3 + 1 par X 2 + X.
Remarque. Si R(X) = 0, on dit que B divise A.
Exemple. Montrer que X 3 − 1 est divisible par X 2 + X + 1.
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Racines dans C
Définition. On appelle racine d’un polynôme P sur C, un nombre complexe z tel que P (z) = 0.
Exemple. Les racines n-ièmes de l’unité sont les racines du polynôme P (X) = X n − 1.
1
Théorème. Soit P un polynôme non nul sur C et soit z0 une racine de P . Alors il existe un
polynôme Q de degré deg(P )-1 tel que
P (X) = (X − z0 )Q(X).
(En d’autres termes, le polynôme X − z0 divise P ).
P
Preuve. Prouvons d’abord le théorème pour z0 = 0. Soit P (X) = nk=0 ak X k un polynôme tel
que an 6= 0 et P (0) = 0. Comme P (0) = a0 , on a donc que P (X) = a1 X + . . . + an X n = XQ(X)
avec
Q(X) = a1 + . . . an X n−1 .
Ainsi P (X) = XQ(X) avec Q un polynôme de degré deg(P )-1. Traitons maintenant le cas général
z0 quelconque. Posons P̃ (X) := P (X + z0 ). On a donc P̃ (0) = P (z0 ) = 0. De plus, P̃ est
un polynôme de même degré que P . On peut l’écrire P̃ (X) = X Q̃(X) avec Q̃ un polynôme de
degré deg(P̃ )-1=deg(P )-1. On déduit que P (X) = P̃ (X − z0 ) = (X − z0 )Q̃(X − z0 ). Posons
Q(X) = Q̃(X − z0 ). On a alors P (X) = (X − z0 )Q(X) et Q est bien de degré deg(P )-1. Exemple. Soit P (X) = X 2 + 1. i est racine de P et on écrit P (X) = (X − i)(X + i).
Soit P (X) = X 3 + 1. −1 est racine de P et on écrit P (X) = (X + 1)(X 2 − X + 1).
Corollaire. Si un polynôme P de degré inférieur à n admet n + 1 racines distinctes, alors P est
le polynôme nul.
Preuve. Montrons-le par récurrence sur le degré de P . Si P est un polynôme de degré 0, P est un
polynôme constant P (X) = a0 . S’il admet une racine, c’est que a0 = 0 donc P est le polynôme nul.
Supposons la propriété vraie au rang n et montrons-la au rang n + 1. Soit P un polynôme de degré
inférieur à n + 1 admettant n + 2 racines distinctes z0 , z1 , . . . , zn+1 . Par le théorème précédent,
on peut écrire P (X) = (X − zn+1 )Q(X). On remarque que z0 , z1 , . . . , zn sont nécessairement des
racines de Q. Donc Q est un polynôme de degré inférieur à n admettant n + 1 racines distinctes.
C’est donc le polynôme nul. Ainsi P est aussi le polynôme nul. Exemple. Cela implique en particulier que si P (z) = Q(z) pour tout z, alors les coefficients de P
et Q sont les mêmes.
Définition. i) On dit que z0 est une racine simple d’un polynôme P sur C si P (X) = (X −z0 )Q(X)
et Q(z0 ) 6= 0.
ii) On dit que z0 est une racine d’ordre k d’un polynôme P sur C si P (X) = (X − z0 )k Q(X) et
Q(z0 ) 6= 0.
P
Définition. Soit P (X) = nk=0 ak X k un polynôme sur C. Alors z0 est une racine d’ordre k ≥ 1
si et seulement si
P (z0 ) = 0, P 0 (z0 ) = 0, . . . , P (k−1) (z0 ) = 0 et P (k) (z0 ) 6= 0.
Exemple. Soit le polynôme P (X) = X 6 − 2X 5 + 2X 3 − 3X 2 + 4X − 2. Montrer que 1 est racine
double mais pas racine triple.
2
Théorème. (d’Alembert-Gauss) Tout polynôme non constant sur C admet au moins une racine.
Remarque. Ce n’est pas vrai sur R!! Le polynôme X 2 + X + 1 n’admet aucune racine sur R.
Par contre il admet bien des racines sur C, qui sont e2iπ/3 et e4iπ/3 .
Corollaire. Soit P un polynôme sur C de degré n ≥ 1, et an le coefficient de degré n de P . Alors
il se factorise sous la forme
P (X) = an (X − z0 )(X − z1 ) . . . (X − zn−1 )
où z0 , . . . , zn−1 sont les racines (comptées avec multiplicité) de P .
Preuve. On le montre par récurrence. Pour n = 1, on a P (X) = a1 X + a0 = a1 (X − z0 ) avec
0
z0 := −a
a1 qui est bien la racine de P (a1 6= 0 car P est de degré 1 par hypothèse). Supposons la
propriété vraie au rang n, et montrons-la au rang n + 1. Soit P polynôme de degré n + 1 et zn une
racine de P . On peut écrire P (X) = (X − zn )Q(X) avec Q polynôme de degré n. Par l’hypothèse
de récurrence on peut écrire Q(X) = bn (X − z0 ) . . . (X − zn−1 ) avec bn−1 le coefficient de degré n
de Q et z0 , . . . , zn−1 racines de Q. Ainsi P (X) = bn (X − z0 )(X − z1 ) . . . (X − zn ). Il reste à voir que
nécessairement bn = an+1 et que z0 , z1 , . . . zn sont bien racines de P . Pour montrer que bn = an+1
il suffit de voir que le coefficient de degré n + 1 de bn (X − z0 )(X − z1 ) . . . (X − zn ) est bn . Comme
P (X) = bn (X − z0 )(X − z1 ) . . . (X − zn ), on peut identifier an+1 = bn . Ensuite on remarque que
P (zi ) = (zi − zn )Q(zi ) = 0 pour tout i ∈ {0, . . . , n}, donc les zi sont bien racines de P . C’est ce
qu’on voulait démontrer. Exemple. On trouve donc que X n − 1 =
Qn−1
k=0 (X
−e
2iπk
n
).
Exercice. Soit P (X) = X 3 + (1 − 2i)X 2 − (1 + 2i)X − 1.
1) Montrer que 1 est une racine simple de P .
2) Montrer que i est une racine double de P .
3) Factoriser P .
Exercice. Soit P (X) = X 2 − (3 + 3i)X + 3i.
1) Factoriser P .
2) Factoriser le polynôme X 4 − (3 + 3i)X 2 + 3i.
Remarque. Puisque P (X) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 d’une part et P (X) = an (X −
z0 )(X − z1 ) . . . (X − zn−1 ) d’autre part, on voit que l’on dispose de deux écritures pour un même
polynôme. Par identification des coefficients de degré 0 et de degré n − 1, on trouve les relations
suivantes:
n
a0 = an (−1)
n−1
Y
k=0
an−1 = −an
n−1
X
k=0
3
zk .
zk ,
4
Polynômes à coefficients réels
Dans cette partie, nous nous intéressons aux polynômes du type P (z) = an X n + an−1 X n−1 + . . . +
a1 X + a0 avec a0 , a1 , . . . , an réels.
Proposition. Soit P un polynôme à coefficient réels. Si z0 est une racine de P , alors le conjugué
de z0 , à savoir z0 , est aussi une racine de P .
Preuve. Comme z0 est une racine de P , on a an z0n + an−1 z0n−1 + . . . + a1 z0 + a0 = 0. En passant au
conjugué, on trouve an (z0 )n +an−1 (z0 )n−1 +. . .+a1 z0 +a0 = 0. Comme les ai sont réels, on a ai = ai
et donc an (z0 )n +an−1 (z0 )n−1 +. . .+a1 z0 +a0 = 0, ce qui prouve que z0 est aussi une racine de P . Remarque. Si z0 est une racine d’ordre k, alors z̄0 est aussi racine d’ordre k (Le prouver).
Corollaire. Soit P un polynôme à coefficients réels de degré n ≥ 1, et soit an son coefficient de
degré n. Alors P se factorise par des polynômes à coefficients réels de la façon suivante:
P (X) = an (X − x0 ) . . . (X − xk )(X 2 − (z0 + z0 )X + z0 z0 ) . . . (X 2 − (z` + z` )X + z` z` )
où x0 , . . . , xk sont les racines réelles (comptées avec multiplicité) de P et z0 , z0 , . . . , z` , z` sont les
racines complexes non réelles (comptées avec multiplicité) de P .
Preuve. On sait que P se factorise par des polynômes à coefficients complexes sous la forme
P (z) = an (z − z0 ) . . . (z − zn )
où les zi sont les racines (comptées avec multiplicité) de P . On va noter x0 , . . . , xk les racines
réelles. Pour les racines non réelles, on sait par la proposition précédente qu’on peut les regrouper
deux à deux en associant à chaque racine son conjugué (qui est aussi une racine de P ). On écrit
donc les racines non réelles de P z0 , z0 , . . . , z` , z` . On remarque finalement que
(z − zi )(z − zi ) = z 2 − (zi + zi )z + zi zi
qui est bien un polynôme à coefficients réels. On a donc
P (z) = an (z − z0 ) . . . (z − zn )
`
Y
= an (z − x0 ) . . . (z − xk ) (z − zi )(z − zi )
= an (z − x0 ) . . . (z − xk )
i=0
`
Y
(z 2 − (zi + zi )z + zi zi )
i=0
ce qui implique le résultat. On a donc montré que tout polynôme réel peut se factoriser par des polynômes réels de degré
1 et des polynômes réels de degré 2 dont le discriminant ∆ est strictement négatif.
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Q2n−1
2iπk
Exemple. Factorisation du polynôme P (X) = X 2n − 1. On sait que P (X) = k=0
(X − e 2n ).
2iπk
Notons zk = e 2n les racines de P . Les racines réelles sont z0 = 1 et zn = −1. Les autres racines
ne sont pas réelles. Pour k ∈ {1, . . . , n − 1}, on peut regrouper la racine zk avec son conjugué
e
−2iπk
2n
=e
−2iπk
2n
e2iπ = e
2iπ(2n−k)
n
= z2n−k . Ainsi
n−1
Y
P (X) = (X − 1)(X + 1)
(X − zk )(X − zk ).
k=1
On a (X − zk )(X − zk ) = X 2 − (zk + zk )X + zk zk . On remarque que
zk + zk = 2Re(zk ) = 2 cos(
2kπ
)
n
et
zk zk = 1.
On obtient donc la factorisation suivante:
P (X) = (X − 1)(X + 1)
n−1
Y
2
X − 2X cos
k=1
Exercice. Soit P le polynôme P (X) = X 3 + X 2 + X + 3.
1) Factoriser P dans R[X].
2) Factoriser P dans C[X].
5
2kπ
n
+1 .