1ere STI2D-11

Classe de Première STI2D - cours
Marc Bizet
ÉCHANTILLONNAGE
1. échantillonnage en classe de Seconde
Considérons une urne contenant 5 boules rouges et 7 vertes et 4 noires. L'évènement R : "tirer une
boule et observer sa couleur" possède 3 issues ( R, V, N ). Nous n'avons pas une loi binomiale ici.
5
p = p (R ) =
. C'est une probabilité théorique.
16
Nous avons vu, dans une classe précédente, que si l'on répète n fois avec remise cette expérience,
avec n ≥ 25 et une probabilité p comprise entre 0, 2 et 0, 8 , la fréquence f de réalisation de
l'évènement R tendait à s'approcher de la probabilité théorique p .
1
1 

; p+
Plus précisément, f appartient à l'intervalle centré autour de p :  p −
 avec une
n
n

probabilité de 0, 95 . Cet intervalle est un intervalle de fluctuation de la fréquence f au seuil de
95 % .
Si nous tirons 50 fois une boule avec remise, en notant sa couleur à chaque fois, la fréquence
d'apparition d'une boule rouge sera, avec une probabilité de 0, 95 , comprise dans l'intervalle :
1
5
1 
5
−3
; +
 16 −
 , soit à 10 près [ 0, 171 ; 0, 454 ] .
16
50
50 

2. échantillonnage et loi binomiale
Propriété
Soit une population dans laquelle une proportion p d'individus possède un caractère C . On définit
une loi de probabilité X qui, à tout échantillon de taille n prélevé au hasard et avec remise, associe
le nombre d'individus possédant le caractère C .
•
X suit la loi binomiale de paramètres n et p ;
•
a est le plus petit entier de {0, ... , n} tel que P ( X ≤ a ) > 0, 025 ;
•
b est le plus petit entier de {0, ... , n} tel que P ( X ≤ b ) ≥ 0, 975 ;
•
a b
 n ; n  est un intervalle de fluctuation de la fréquence f au seuil de 95 %


Remarquons que :
•
•
0, 975 − 0, 025 = 0, 95
l'intervalle de fluctuation défini par cette propriété ne souffre d'aucune condition sur n et
p , mais suppose que l'on prélève avec remise, ou dans des conditions qui sont presque
similaires.
Considérons notre urne précédente. On considère l'expérience qui consiste à prélever 50 fois avec
remise une boule en s'intéressant à la fréquence d'apparition f du seul caractère R de la boule.
On définit la loi de probabilité X qui associe le nombre de fois où ce caractère R est observé.
•
•
5
= 0, 312 5
16
P ( X ≤ 8 ) ≃ 0, 011 et P ( X ≤ 9 ) ≃ 0, 027 donc a = 9
X suit la loi binomiale de paramètres 50 et
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•
P ( X ≤ 21 ) ≃ 0, 961 et P ( X ≤ 22 ) ≃ 0, 980 donc b = 22
•
 9 22 
L'intervalle de fluctuation de f est  ;  soit [ 0, 18 ; 0, 44 ]
 50 50 
Pour déterminer rapidement a (ou b ) :
Casio : InvBinomialCD ( 0.025 , 50 , 0.3125) → 9
Texas : définir Y1 = binomcdf ( 50 , 0.3125, X ) puis lire dans la table de valeurs (TABLE)
Remarquons la proximité des bornes de cet intervalle avec l'intervalle [ 0, 171 ; 0, 454 ] déterminé
sous conditions pour n ≥ 25 et 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8 .
Exercice
Le patron d'une usine de fabrication de smartphones souhaite analyser un échantillon de 200
appareils afin de vérifier l'affirmation de l'un de ses ingénieurs, à savoir que 4 % des appareils ne
remplissent pas le cahier des charges en sortie d'usine.
15 appareils sur les 200 analysés ne remplissent pas le cahier des charges. Qu'en conclure ?
15
= 0, 075 .
200
L'intervalle de fluctuation associé à la loi binomiale de paramètres 200 et 0, 04 est [ 0, 015 ; 0, 07] .
f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. Il convient donc de s'interroger sur l'affirmation de
l'ingénieur, ou remettre en question les conditions de l'échantillonnage, donc de tenter un autre
prélèvement.
La fréquence observée est f =
3. Programmation calculatrice
Casio : intervalle de fluctuation de type Seconde
Casio : intervalle de fluctuation de type Seconde
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Marc Bizet
Casio : intervalle de fluctuation binomiale
Texas : intervalle de fluctuation binomiale
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