Définition formelle de la limite

DÉFINITION FORMELLE DE LA LIMITE
1
Définition précise de la limite en un point
2
Définitions précises des limites infinies en un point
1 Définition précise de la limite en un point
Pour montrer que la limite d’une fonction f(x) est un nombre L lorsque x l x0,
il suffit de montrer que l’écart entre f (x) et L peut devenir aussi petit que l’on
veut lorsque x approche suffisamment de x0. Nous allons découvrir ce que cela
implique si l’écart entre f(x) et L est spécifié à l’avance.
EXEMPLE 1 Contrôler une fonction linéaire
On désire garder la valeur de la fonction linéaire y 2x 1 à moins de
deux unités de la valeur y0 7. À combien d’unités doit-on garder la valeur
de la variable x de part et d’autre de x0 4 ?
Solution
En langage mathématique, le problème peut s’exprimer sous la forme
suivante : pour quelles valeurs de x, l’inéquation y 7 2 est-elle
satisfaite ?
Exprimons y 7 en fonction de x :
7 (2x 1) 7 2x 8 .
La question revient maintenant à déterminer les valeurs de x satisfaisant
l’inéquation 2x 8 2. Nous avons successivement :
8 2
2 2x 8 2
6 2x 10
3x5
1 x 4 1
x 4 1.
2x
Donc, lorsque x reste à 1 unité de x 0 4, y reste à 2 unités de y 0 7
(figure 1).
Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé à quelle distance d’une
valeur donnée x0 nous devions garder la variable x pour nous assurer que les
valeurs de la fonction soient maintenues à l’intérieur d’un intervalle donné
y 2x 1
Borne supérieure : y 9
⎧9
Pour
⎪
contrôler ⎨ 7
⎪
ceci
⎩5
0
Borne inférieure : y 5
3 4 5
⎧
⎨
⎩
y
y
Restreindre
ceci
Figure 1 Garder x à 1 unité de x0 4
permet à y de rester à 2 unités de y0 7
(exemple 1).
x
contenant la limite L. Pour montrer que la limite de f (x) est en fait égale à L
lorsque x l x0, nous devons de plus montrer que l’écart entre f (x) et L peut
rester inférieur à une valeur arbitrairement petite lorsque x s’approche de x0.
Supposons que l’on veuille contrôler les valeurs de la fonction f (x)
lorsque x tend vers x0 (sans cependant atteindre la valeur x0). On voudrait par
exemple pouvoir garder f (x) à une distance inférieure à 1/10 d’unité de L
aussitôt que x parvient à une distance de x0 inférieure à une valeur delta (figure 2). Ceci n’est cependant pas suffisant car, pendant que x continue à
s’approcher de x0, qu’est-ce qui nous assure que f (x) restera dans l’intervalle
compris entre L 1/10 et L 1/10 ? On peut affirmer que f (x) tend vers L en
montrant que quel que soit l’écart epsilon spécifié à l’avance séparant f(x) de L,
il est possible de trouver une distance séparant x de x0 pour laquelle f(x) reste
à une distance de L inférieure ou égale à l’écart préétabli. Cette formulation
est la façon mathématique de dire que plus x se trouve près de x0, plus f(x) sera
près de L.
y
1
L —
10
f(x)
f(x)
« tombe » ici
L
1
L– —
10
pour tout x x0
situé ici
0
x0 – x
x
x0 x0
DÉFINITION 1
Figure 2 Étape préliminaire dans
l’élaboration d’une définition formelle
de la limite.
Définition formelle de la limite
Soit f(x) une fonction définie partout sur un intervalle ouvert contenant x0, à
l’exception possiblement de x0 lui-même. On dit que f(x) tend vers la limite
L lorsque x tend x0 et on écrit
lim f(x) L ,
xlx0
si pour tout nombre 0, il existe un nombre 0 tel que pour tout x,
0 x x0 ⇒ f(x) L .
y
La définition formelle de la limite est illustrée à la figure 3.
EXEMPLE 2 Appliquer la définition 1
L
Montrez que limxl1 (5x 3) 2 .
L
f(x)
f(x)
« tombe » ici
Solution
Dans la définition de la limite, posons x0 1, f(x) 5x 3 et L 2. Selon
la définition, pour tout 0, nous devons trouver une valeur appropriée
0 telle que si x 1 et si x est à une distance de x0 inférieure à , c’està-dire si
L–
pour tout x x0
situé ici
x
0
x0 – 0 x 1 ,
x0
x0 Figure 3 Relation entre et dans
la définition formelle de la limite.
x
alors f(x) est à une distance de L 2 inférieure à , c’est-à-dire
f(x)
2 .
Nous trouvons en travaillant à rebours à partir de l’inéquation précédente :
(5x
3) 2 5x 5 5 x 1 x 1 /5.
Nous pouvons donc prendre /5 (figure 4). Si 0 x 1 /5 ,
alors
(5x 3) 2 5x 5 5 x 1 5 /5 ,
ce qui prouve que limxl1 (5x 3) 2.
y 5x 3
y
2
2
2
x
1 – 1 1 –
5
5
0
Figure 4 Si f(x) 5x 3, alors
0 x 1 /5 garantit que
f(x) 2 .
–3
La valeur /5 n’est pas la seule valeur pour laquelle 0 x 1 implique 5x 5 . Toute valeur plus petite que respecte l’énoncé.
La définition n’impose pas l’existence d’une « meilleure » valeur positive ;
il suffit de trouver une valeur qui fonctionne.
Dans l’exemple 2, l’intervalle contenant x0 pour lequel f (x) L est
inférieur à était symétrique par rapport à x0 et on pourrait prendre une valeur
de égale à la moitié de l’intervalle. En l’absence d’une telle symétrie, comme
c’est généralement le cas, on peut prendre pour valeur de la distance de x0 à la
borne la plus proche. Un tel choix est illustré par l’exemple suivant.
EXEMPLE 3 Trouver delta algébriquement pour un epsilon donné
Soit limxl5 x 1 2 . Trouvez un 0 qui fonctionne pour 1 c’està-dire, trouvez 0 tel que pour tout x
0 x 2 5 ⬍ ⇒ x 1 2 1.
Solution
La solution s’effectue en deux étapes. D’abord, nous allons résoudre l’inéquation x 1 2 1 en vue de trouver un intervalle ]a, b[ contenant
x0 5 à l’intérieur duquel l’inéquation précédente est vérifiée pour tout
x x0. Ensuite, nous trouverons une valeur 0 telle que l’intervalle
]5 , 5 [ centré en x0 5 sera contenu dans l’intervalle ]a, b[.
Étape 1
Résoudre l’inéquation x 1 2 1 pour trouver un intervalle contenant x0 5 à l’intérieur duquel l’inéquation est vérifiée
pour tout x x0 .
x
121
1 x 1 2 1
1 x 1 3
1x19
2 x 10
L’inéquation est vérifiée pour tout x appartenant à l’intervalle ]2, 10[ donc elle
est vérifiée a fortiori pour tout x 5 appartenant à l’intervalle ]2, 10[.
Étape 2
Trouver une valeur d 0 telle que l’intervalle ]5 d, 5 d[
centré en x0 5 soit contenu dans l’intervalle ]2, 10[. La distance
de 5 à la borne la plus proche de ]2, 10[ est 3 ( 52) (figure 6).
En prenant d 3 ou tout nombre positif plus petit, toute valeur de
x respectant l’inégalité 0 x 5 d sera automatiquement
entre 2 et 10 de sorte que x 1 2 1 sera vérifiée (figure 7),
c’est-à-dire :
0 x 2 5 ⬍ 3 ⇒ x 1 2 1.
y
y
⎯⎯⎯⎯
x ⎯ 1
3
2
1
3
5
2
3
3
3
8
x
10
0
Figure 6 Un intervalle ouvert de
rayon 3 centré en x0 5 est contenu
dans l’intervalle ]2, 10[.
1 2
5
8
10
x
Figure 7 La fonction et les intervalles
de l’exemple 3.
2 Définitions précises des limites
infinies en un point
Au lieu de spécifier que f (x) devient arbitrairement proche d’un nombre fini L
pour tout x suffisamment proche de x0, la définition d’une limite infinie
spécifie que la distance entre f(x) et y 0 devient arbitrairement grande. À
part cette différence, le langage concernant les limites infinies ressemble à ce
que nous avons déjà vu. Les figures 8 et 9 accompagnent les définitions 2.
y
y
y f(x)
x0 x0
x0 x
0
B
–B
0
x0 x0
Figure 8 lim f(x) 앝
xlx0
y f(x)
x
x0 Figure 9 lim f(x) 앝
xlx0
DÉFINITIONS 2
Limites infinies
1. Nous disons que f (x) tend vers l’infini lorsque x tend vers x0, et nous
écrivons
lim f(x) 앝,
xlx0
si pour tout nombre réel positif B, il existe un 0 tel que pour tout x
0 x x0 ⇒ f(x) B.
2. Nous disons que f (x) tend vers moins l’infini lorsque x tend vers x0,
et nous écrivons
lim f(x) 앝,
xlx0
si pour tout nombre réel positif B, il existe un 0 tel que pour tout x
0 x x0 ⇒ f(x) B.
Les limites infinies unilatérales en x0 sont définies de façon analogue.
Exercices
Trouver delta graphiquement
Utilisez les graphes suivants pour déterminer 0 tel que pour
tout x
0 x x0 ⇒ f(x) L .
y
1.
6,2
6
5,8
0
x0 3
L 7,5
0,15
y 3– x 3
2
f (x) 2x 4
x0 5
L6
0,2
4,9
5
y
2. f(x) 3– x 3
2
y 2x 4
7,65
7,5
7,35
x
5,1
–3,1
–3
–2,9
x
0
Le graphe n'est pas à l’échelle
y
5–
4
1
3–
4
f (x) √
⎯⎯x
x0 1
L1
1–
4
4.
y
y ⎯√⎯x
y x2
f(x) x 2
x0 2
L4
1
5
4
3
0
9
—
16
1
25
—
16
x
0
⎯⎯3
√
2
Le graphe n'est pas à l’échelle
x
⎯⎯5
√
0,01
5. f(x) x 1,
L 5,
x0 4 ,
6. f(x) 2x 2,
L 6,
x 0 2 , 0,02
7. f(x) x 1,
L 1,
x0 0 ,
0,1
8. f(x) 19 x , L 3,
x 0 10 ,
1
9. f(x) 1 / x,
L 1 / 4,
x0 4 ,
0,05
L 3,
x 0 3 , 0,1
10. f(x) x 2,
Le graphe n'est pas à l’échelle
3.
Trouver delta algébriquement
Aux exercices 5 à 10, on donne une fonction f(x), une limite L,
une valeur x0 et 0. Trouvez un intervalle ouvert contenant
x0 tel que l’inéquation f (x) L soit vérifiée. Trouvez
ensuite une valeur 0 telle que, pour tout x satisfaisant
0 x x0 , l’inéquation f(x) L soit vérifiée.
Théorie et exemples
11. Alésage de cylindres. On veut aléser les cylindres d’un
moteur pour obtenir une coupe transversale d’aire de 9 po2.
Le diamètre exact du cylindre est de x0 3,385 po et on
exige que l’erreur sur l’aire de la coupe transversale ne
dépasse pas 0,01 po2. Quelle est l’erreur permise sur le
diamètre ? Pour résoudre ce problème, posez A (x/2)2
et trouvez ensuite l’intervalle à l’intérieur duquel on doit
garder x pour que A 9 ⱕ 0,01.
12. La fabrication de résistances électriques. La loi d’Ohm
V RI régit les circuits électriques de courant continu.
V est la tension (en volts, V), I est l’intensité (en ampères, A)
et R est la résistance (en ohms, Ω). On vous a demandé de
fabriquer des résistances devant être utilisées dans des
circuits de 120 V et dont l’intensité doit être de 5 0,1 A.
Dans quel intervalle de tolérance R doit-il se situer
pour que I soit à moins de 0,1 ampère de sa valeur idéale
de I0 5 ampères?
V
I
R
E X P LO R AT I O N S À l ’ O R D I N AT E U R
Les exercices 14 à 17 vont vous permettre d’explorer plus en
profondeur comment déterminer graphiquement les valeurs
de . Utilisez un logiciel de calcul symbolique pour effectuer
les tâches suivantes.
a) Tracez la fonction f dans le voisinage de x0.
b) Estimez la valeur de la limite L et évaluez ensuite cette
limite algébriquement pour vérifier votre estimation.
13. Prouver le test de la dérivée seconde. Le test de la dérivée
seconde pour les extremums relatifs (voir section 3.2)
stipule que :
a) f possède un maximum relatif en x c si f (c) 0 et
f (c) 0 ;
b) f possède un minimum relatif en x c si f (c) 0 et
f (c) 0.
Pour prouver la partie a), posez (1/ 2) f (c) . Puis
utilisez le fait que
f (c) lim
hl0
f (c h) f (c)
f (c h)
lim
hl0
h
h
pour déduire que pour 0,
f (c h)
f (c) e 0.
h
Par la suite, si f (c h) est positive pour h 0 et
négative pour 0 h . Prouvez la partie b) de façon
analogue.
0hd ⇒
c) Utilisez la valeur 0,2 pour tracer les droites
y1 L et y2 L près de x0 dans la même fenêtre
que la fonction f.
d) À partir du graphe tracé en c), estimez 0 tel que pour
tout x
0 x x0 ⇒
f(x)
L .
Vérifiez votre estimation en traçant f, y1 et y2 sur l’intervalle 0 x x0 . Prenez une fenêtre de dimensions
[ x0 2, x0 2 ] sur [ L 2, L 2].
Si une valeur de la fonction tombe à l’extérieur de l’intervalle [ L , L ], votre valeur choisie pour était trop
grande. Recommencez avec une estimation plus petite.
e) Répétez c) et d) successivement pour 0,1, 0,05 et 0,001.
14. f (x) x4 81
5x3 9x2
, x0 3 15. f (x) 5
, x0 0
x3
2x 3x2
16. f (x) sin 2x
, x0 0
3x
17. f (x) x(1 cos x)
, x0 0
x sin x