Exercice no 1

Exercice no 1
Pour un nombre donné, on peut compter le nombre de palindromes
différents que l’on peut lire dans son écriture décimale. Par exemple
dans le nombre 12132113, on peut extraire cinq palindromes : 1, 2, 3,
11 et 121.
Combien un nombre de 2015 chiffres contient-il de
palindromes au maximum ?
Exercice no 2
On colorie tous les points du plan en rouge ou noir.
Montrer qu’il existe deux points de la même couleur
distants de 1 mètre exactement.
Exercice no 3
Vingt-deux arbres sont disposés en rond. Sur chaque arbre se pose un
corbeau. À chaque minute, deux corbeaux s’envolent de leurs arbres et
se posent sur un arbre voisin.
Est-il possible qu’après un certain temps, tous les
corbeaux soient sur le même arbre ?
Exercice no 4
Si a + b = 2 et a2 + b2 = 2, combien vaut a3 + b3 ? Et a4 + b4 ?
Exercice no 5
Trois cercles C1, C2 et C3 sont disposés comme ci-dessous. On trace la
corde commune de C1 et C2, puis la corde commune de C1 et C3, ainsi
que celle de C2 et C3.
Montrer que ces trois cordes se coupent en un même
point.
Exercice no 6
De combien de façons différentes peut-on recouvrir un rectangle 2 × 10
avec des dominos 1 × 2 ?
Exercice no 7
Soit n ≥ 1 un nombre entier. Montrer que 2n possède un
multiple de n chiffres composé uniquement de 1 et de 2.
Exercice no 8
On place 6 points sur la circonférence d’un disque et on trace toutes les
cordes qui les relient deux à deux.
En combien de régions le disque est-il découpé au
maximum ?
Exercice no 9
Soit f : R → R, une fonction continue telle que pour tout x, on a
f (2x) = f (x) + f (x).
Montrer que f s’écrit sous la forme f (x) = ax.
Exercice no 10
Soit un graphe planaire tel que de chaque sommet part un nombre pair
d’arêtes.
Montrer que l’on peut toujours colorier les faces de ce
graphe de deux couleurs de façon à ce que deux faces
voisines (qui ont une arête commune) ne soient pas de la
même couleur.
Exercice no 11
On dit qu’une figure géométrique pave le plan s’il est possible de
recouvrir le plan avec des copies de cette figure sans trous, ni
superpositions.
Quels sont tous les quadrilatères convexes qui pavent le
plan ?
Exercice no 12
On place n points répartis uniformément sur un cercle et numérotés de
1 à n. Une sauterelle part du point no 1 et saute de k en k points. Si
par exemple n = 5 et k = 2, son parcours sera : 1, 3, 5, 2, 4, 1.
À quelle condition sur n et k la sauterelle passera-t-elle
par tous les points avant de revenir à son point de
départ ?
Exercice no 13
Au premier jour, il y a 1 nénuphar sur une mare. Le deuxième jour, il y
en a 2, le troisième jour il y en a 4 et ainsi de suite. Chaque jour le
nombre de nénuphars est multiplié par 2. Au dixième jour, la moitié de
la mare est occupée par les nénuphars.
Quel jour la marre sera-t-elle remplie ?
Exercice no 14
On colorie tous les points du plan en jaune ou bleu.
Montrer qu’il existe un rectangle dont les quatre
sommets sont de la même couleur.
Exercice no 15
Soit a un nombre réel tel que a + 1/a est un nombre entier.
Montrer que pour tout n ∈ N, an + 1/an est un nombre
entier.
Exercice no 16
Quelle est la 1001ème décimale du nombre 1/1001 ?
Exercice no 17
Montrer que le nombre 2015 possède un multiple qui
n’est composé que de 5.
Exercice no 18
On place 5 points sur une grille.
Montrer que l’on peut en trouver deux dont le milieu est
également un point de la grille.
Exercice no 19
Peut-on recouvrir un carré 2015 × 2015 par des dominos
1 × 2 placés horizontalement et des rectangles 1 × 3 placés
verticalement ?
Exercice no 20
Soit a un entier strictement supérieur à 1 et b le nombre obtenu en
écrivant a deux fois à la suite (si a = 123 alors b = 123123 ; bien sûr, a
ne commence pas par 0).
Donner toutes les valeurs entières que peut prendre b/a2 .
Exercice no 21
La suite de Fibonacci est définie par F0 = F 1 = 1 et
Fn+1 = Fn + Fn−1.
Montrer qu’il existe un terme de la suite de Fibonacci qui
est multiple de 2015.
Exercice no 22
Un segment de longueur 1 est divisé en 11 segments de longueurs
inférieures ou égales à un certain nombre a.
Pour quelles valeurs de a peut-on affirmer avec certitude
que n’importe quel triplet de sous-segments permet de
former un triangle ?
Exercice no 23
On colorie toutes les arêtes d’un graphe complet à 6 sommets en rouge
ou en vert.
Montrer qu’il existe soit un triangle rouge, soit un
triangle vert.
Exercice no 24
On écrit un nombre à chaque sommet d’un cube. On fait une opération
qui consiste à remplacer chacun de ces nombres par la moyenne
arithmétique de ses trois voisins juste avant. En répétant cette
opération 10 fois de suite on découvre que les nombres écrits aux
sommets sont les mêmes qu’au départ.
Est-ce que cela implique que les nombres de départ
étaient obligatoirement égaux ?
Exercice no 25
Dans un carré ABCD, M et N sont les milieux des côtés [BC] et [AD]
respectivement. Sur la droite (AC), hors du segment [AC] et du côté de
A, on choisit un point K. Le segment [KM] intersecte le côté [AB] en
un point L.
\
[
Montrer que les angles KN
A et LN
A sont égaux.
Exercice no 26
Dans une grande ville, toutes les rues sont dans l’une ou l’autre de
deux directions perpendiculaires. Pendant un déplacement dans cette
ville, une voiture tourne 100 fois à gauche.
Combien de fois a-t-elle tourné à droite, sachant qu’elle
n’est jamais passée deux fois au même endroit et est
revenue à son point de départ ?
Exercice no 27
Un carré est découpé en n polygones égaux non convexes. Tous les
côtés de tous les polygones sont parallèles aux côtés du carré. On sait
que deux polygones du découpage ne peuvent jamais être superposés
par une translation.
Quelle est la plus grande valeur possible de n ?
Exercice no 28
Soit x un nombre réel. Montrer qu’il existe une infinité de fractions p/q
telles que
p
x − < 1 .
q q2
Exercice no 29
Au premier jour d’un congrès, n scientifiques se serrent la main.
Montrer qu’à n’importe quel moment, le nombre de scientifiques ayant
serré un nombre impair de mains est pair.
Exercice no 30
À Mathland, deux villes sont toujours reliées soit par une voie
aérienne, soit par un canal navigable (dans les deux sens).
Montrer qu’il est possible de choisir un moyen de
transport, tel que, en partant de n’importe quelle ville,
on puisse atteindre n’importe quelle autre ville
uniquement à l’aide de ce moyen de transport.
Exercice no 31
Soit E un ensemble de points du plan tel que tout point de E est le
milieu d’un segment dont les extrémités sont dans E.
L’ensemble E peut-il être fini ?
Exercice no 32
À l’intérieur d’une grande carte de France, on dessine une plus petite
carte de France. Montrer qu’il existe un point de France qui
se trouve au même endroit sur les deux cartes.
Exercice no 33
Anne, Boris et Cyril sont assis autour d’une table et mangent des noix.
Au départ c’est Anne qui a toutes les noix. Elle les divise en deux
parties égales entre Boris et Cyril, puis, s’il lui reste une noix, elle la
mange. Ensuite le même procédé se répète en rond (disons, dans le sens
des aiguilles d’une montre). Chacun des trois partage successivement
ses noix en deux parties égales entre ses voisins, puis, s’il lui reste une
noix, il la mange. Au départ il y avait au moins 4 noix.
Peut-on être sûr qu’au moins une noix sera mangée ?
Toutes les noix seront-elles mangées ?
Exercice no 34
Soit n ≥ 3 un entier. On considère un ensemble de n droites dans le
plan tel que deux quelconques ne soient pas parallèles. On suppose que
par l’intersection de deux quelconques de ces droites passe une autre
droite de l’ensemble.
Prouver que toutes les droites sont concourantes.
Exercice no 35
De combien de manières peut-on placer 5 pièces
identiques dans 3 poches différentes ?