Fabophilie Fabophilie

Quand Algorithmique
rime avec … Mathématiques
Fabophilie
Introduction
Demander à chaque élève d’écrire sur un papier deux entiers (non forcément distincts) entre 1 et 10 inclus.
Sunthétiser ces données dans une feuille de tableur pour essayer de simuler « un tirage au hasard ».
Une nouvelle collection de 10 fèves « Avatar » garnie les galettes de cette année. Chaque fève porte un
numéro de 1 à 10.
Quel est le coût moyen de cette collection, sachant que les galettes coûtent 6 € pièce cette année ?
Première mise en commun à partir des données de Introduction.
Expériences
Pour remplir le tableau :
•
Obtenir un nombre aléatoire entre 0 et 9 à l’aide de la calculatrice ou d’un tableur : ce nombre correspond au numéro de la fève trouvée dans la galette. Compter plus une galette dans la colonne correspondante.
Remarque : pour une première approche, présenter simplement la commande RAND de la calculatrice ou ALEA du tableur. fraire remarquer que le nombre obtenu est dans l’intervalle [0 ; 1[. Pour le numéro de la fève, on choisit le chiffre des dixièmes ; ce qui explique la numérotation des fèves à partir de 0.
•
•
Recommencer jusqu’à ce que le tableau n’ait plus de case vide.
Compter le nombre total de galettes qui ont été nécessaires à l’obtention de la collection complète.
n° de la
fève
nb
de
galettes
0
1
2
Recommencer l’expérience une seconde fois :
n° de la
0
1
2
fève
nb
de
galettes
Mise en commun des résultats
3
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
9
Simulations
A partir de l’algorithme de remplissage du tableau, écrire un programme permettant d’automatiser la tâche.
En déduire un algorithme permettant d’effectuer un grand nombre de simulations afin d’obtenir le nombre moyen de galettes à acheter.
F. Léon (14.11.10 - 15.11.11) * L:\Mes documents\_fred\WORK\MATH\Formation\PAF_2011_12\math_algo\tableaux\feve\feve.doc * 1/3
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Version XCas – à écrire dans une fenêtre de programme
pour remplir les tableaux de fèves
instructions
collection():={
arret:=0;
F:=makelist(0,0,9);
tantque arret=0 faire
num:=alea(10);
F[num]:=F[num]+1;
arret:=min(F)
ftantque;
retourne(somme(F));
commentaires
/* recherche de la collection : chaque
fève doit être trouvée au moins une fois
*/
/* si arret = 0, on continue : il reste
une fève non trouvée */
/* initialisation du tableau : chacune
des 10 cases vaut 0 */
/* renvoie un entier de [0 ; 9] */
/* les cases sont numérotées de de 0 à
9 ; le contenu de la case est incrémenté
de 1 */
/* si une des valeurs de la liste est 0,
on continue */
/* somme des valeurs du tableau = nb de
galettes à acheter pour obtenir la collection */
}:;
pour obtenir un certain nombre d’expériences
instructions
ncollection(n):={
G:=makelist(0,0,n-1);
pour j de 0 jusque (n-1)
faire G[j]:=collection()
fpour;
retourne(moyenne(G));
commentaires
/* on va répéter n fois le programme
précédent */
/* initialisation du tableau : chacune
des n cases vaut 0 */
/* chaque case correspond au nombre de
galettes nécessaires pour obtenir la
collection complète */
/* on veut le nombre moyen de galettes
*/
}:;
F. Léon (14.11.10 - 15.11.11) * L:\Mes documents\_fred\WORK\MATH\Formation\PAF_2011_12\math_algo\tableaux\feve\feve.doc * 2/3
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Version XCas – à écrire dans une fenêtre de programme
pour remplir les tableaux de fèves
instructions
collection():={
arret:=0;
F:=makelist(0,0,9);
tantque arret=0 faire
num:=alea(10);
F[num]:=F[num]+1;
arret:=min(F)
ftantque;
retourne(somme(F)); }:;
commentaires
/* recherche de la collection : chaque fève doit être trouvée au moins
une fois */
/* si arret = 0, on continue : il reste une fève non trouvée */
/* initialisation du tableau : chacune des 10 cases vaut 0 */
/* renvoie un entier de [0 ; 9] */
/* les cases sont numérotées de de 0 à 9 ; le contenu de la case est
incrémenté de 1 */
/* si une des valeurs de la liste est 0, on continue */
/* somme des valeurs du tableau = nb de galettes à acheter pour obtenir la collection */
pour obtenir un certain nombre d’expériences
instructions
ncollection(n):={
G:=makelist(0,0,n-1);
pour j de 0 jusque (n-1)
faire G[j]:=collection()
fpour;
retourne(moyenne(G)); }:;
commentaires
/* on va répéter n fois le programme précédent */
/* initialisation du tableau : chacune des n cases vaut 0 */
/* chaque case correspond au nombre de galettes nécessaires pour obtenir la collection complète */
/* on veut le nombre moyen de galettes */
Version XCas – à écrire dans une fenêtre de programme
pour remplir les tableaux de fèves
instructions
collection():={
arret:=0;
F:=makelist(0,0,9);
tantque arret=0 faire
num:=alea(10);
F[num]:=F[num]+1;
arret:=min(F)
ftantque;
retourne(somme(F)); }:;
commentaires
/* recherche de la collection : chaque fève doit être trouvée au moins
une fois */
/* si arret = 0, on continue : il reste une fève non trouvée */
/* initialisation du tableau : chacune des 10 cases vaut 0 */
/* renvoie un entier de [0 ; 9] */
/* les cases sont numérotées de de 0 à 9 ; le contenu de la case est
incrémenté de 1 */
/* si une des valeurs de la liste est 0, on continue */
/* somme des valeurs du tableau = nb de galettes à acheter pour obtenir la collection */
pour obtenir un certain nombre d’expériences
instructions
ncollection(n):={
G:=makelist(0,0,n-1);
pour j de 0 jusque (n-1)
faire G[j]:=collection()
fpour;
retourne(moyenne(G)); }:;
commentaires
commentaires
/* on va répéter n fois le programme précédent */
/* initialisation du tableau : chacune des n cases vaut 0 */
/* chaque case correspond au nombre de galettes nécessaires pour obtenir la collection complète */
/* on veut le nombre moyen de galettes */
F. Léon (14.11.10 - 15.11.11) * L:\Mes documents\_fred\WORK\MATH\Formation\PAF_2011_12\math_algo\tableaux\feve\feve.doc * 3/3