limites d`une fonction

Transcription

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
LIMITES D’UNE
FONCTION
Les fonctions qu’on étudie en analyse sont souvent définies sur des intervalles, mais souvent aussi sur des réunions
d’intervalles comme R∗ ou [0, 1[∪[2, 3]. Dans ce chapitre, pour simplifier, les lettres D, E. . . désigneront
i toujours
h des réunions
π π
finies d’intervalles — mais on pourrait généraliser à certaines réunions infinies d’intervalles comme − ,
+ πZ.
2 2
Définition (Adhérence d’une partie dans R) On appelle adhérence de D dans R et on note D l’ensemble des x ∈ R qui
sont la limite d’une suite d’éléments de D.
Explication
Exemple
D n’est jamais que l’ensemble D auquel on a ajouté ses « bornes », sa « frontière ».
[0, 1[ = [0, 1],
]0, +∞[ = [0, +∞],
R∗ = R
et
]0, 1] ∪ ]2, 3[ = [0, 1] ∪ [2, 3].
Définition (Propriété vraie au voisinage d’un point) Soient f : D −→ R une fonction et a ∈ D. On dit que f vérife
une certaine propriété P au voisinage de a si f vérifie la propriété P sur D ∩ V pour un certain voisinage V de a.
Exemple
La fonction sinus est croissante au voisinage de 0 et la fonction cosinus minorée par
1
au voisinage de 0.
2
DÉFINITIONS DE LA LIMITE D’UNE FONCTION
1
1.1
LIMITE D’UNE
FONCTION EN UN POINT
Définition (Limite d’une fonction en un point) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ R. On dit que f admet
ℓ pour limite en a si :
∀Vℓ
pour tout voisinage Vℓ de ℓ, il existe un voisinage Va de a sur lequel :
∀V+∞
f (x) ∈ Vℓ .
∀V+∞
ℓ
∀Vℓ
ℓ
a ∃V
a
lim f = ℓ avec ℓ ∈ R et a ∈ R
lim f = +∞
∃V+∞
∃V+∞
lim f = ℓ avec ℓ ∈ R
+∞
a
+∞
∀V+∞
∀Vℓ
ℓ
bc
a ∃V
a
lim f = ℓ avec ℓ ∈ R et a ∈ R
a
lim f = +∞
a
a
1
∃Va
a
∃Va
lim f = +∞ avec a ∈ R
a
Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D −→ R une fonction et a ∈ D.
(i) Si f possède une limite en a, elle est unique et notée :
Pour tout ℓ ∈ R, la relation :
(ii)
SI a ∈ D
Explication
lim f = ℓ
a
a
est souvent notée :
lim f (x).
ou
x→a
f −→ ℓ
a
ou
f (x) −→ ℓ.
x→a
lim f = f (a).
et si f possède une limite en a, alors :
lim f
a
f est définie en a
mais lim f n’existe pas.
Pour l’assertion (ii) :
f est définie en a
et : lim f = f (a).
a
f (a)
f (a)
b
b
bc
a
a
Démonstration
a
Nous verrons cela dit
que : lim
f = lim
f.
−
+
a
a
(i) Par l’absurde, faisons l’hypothèse que f possède deux limites ℓ et ℓ′ DISTINCTES. Il existe alors un
voisinage Vℓ de ℓ et un voisinage Vℓ′ de ℓ′ DISJOINTS. Or par hypothèse sur f , il existe deux voisinages
Va et Va′ de a pour lesquels :
∀x ∈ D ∩ Va , f (x) ∈ Vℓ
et
∀x ∈ D ∩ Va′ , f (x) ∈ Vℓ′ .
Or : D ∩ Va ∩ Va′ 6= ∅, et pour tout x ∈ D ∩ Va ∩ Va′ :
Vℓ et Vℓ′ disjoints — contradiction !
f (x) ∈ Vℓ ∩ Vℓ′
alors que nous avons choisi
a ∈ D,
et possède une limite ℓ en a.
Peut-on avoir : ℓ = +∞ ? Il existerait alors un voisinage Va de a sur lequel : f (x) ∈ f (a), +∞ .
Pour x = a, on aurait en particulier : f (a) ∈ f (a), +∞
— contradiction. On pourrait montrer de
même que : ℓ 6= −∞. Conclusion : ℓ ∈ R.
(ii) Faisons l’hypothèse que f est définie en a, i.e. que :
Pour tout ǫ > 0, il existe ainsi par hypothèse
Va′ de a sur lequel : f (x) ∈ ]ℓ − ǫ, ℓ + ǫ[.
un voisinage
En particulier, pour x = a : ∀ǫ > 0, f (a) −
ℓ < ǫ. Sous l’hypothèse que : ℓ 6= f (a), ce
f (a) − ℓ
, donc forcément : ℓ = f (a).

résultat est contradictoire pour : ǫ =
2
Définition (Les 9 limites) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ R.
• Cas où ℓ ∈ R et a ∈ R :
lim f = ℓ
a
• Cas où ℓ = +∞ et a = +∞ :
lim f = +∞
+∞
• Cas où ℓ = −∞ et a = +∞ :
lim f = −∞
+∞
• Cas où ℓ = +∞ et a = −∞ :
lim f = +∞
−∞
• Cas où ℓ = −∞ et a = −∞ :
lim f = −∞
−∞
• Cas où ℓ ∈ R et a = +∞ :
lim f = ℓ
+∞
• Cas où ℓ ∈ R et a = −∞ :
lim f = ℓ
−∞
• Cas où ℓ = +∞ et a ∈ R, a ∈
/D:
lim f = +∞
a
• Cas où ℓ = −∞ et a ∈ R, a ∈
/D:
lim f = −∞
a
⇐⇒
∀ǫ > 0,
∃ α > 0/
∀x ∈ D,
|x − a| < α =⇒ f (x) − ℓ < ǫ.
⇐⇒
∀A > 0,
∃ B > 0/
∀x ∈ D,
x > B =⇒ f (x) > A.
⇐⇒
∀A < 0,
∃ B > 0/
∀x ∈ D,
x > B =⇒ f (x) < A.
⇐⇒
∀A > 0,
∃ B < 0/
∀x ∈ D,
x < B =⇒ f (x) > A.
⇐⇒
∀A < 0,
∃ B < 0/
∀x ∈ D,
x < B =⇒ f (x) < A.
⇐⇒
∀ǫ > 0,
∃ B > 0/
∀x ∈ D,
x > B =⇒ f (x) − ℓ < ǫ.
⇐⇒
∀ǫ > 0,
∃ B < 0/
∀x ∈ D,
x < B =⇒ f (x) − ℓ < ǫ.
⇐⇒
∀A > 0,
∃ α > 0/
∀x ∈ D,
|x − a| < α =⇒ f (x) > A.
⇐⇒
∀A < 0,
∃ α > 0/
∀x ∈ D,
|x − a| < α =⇒ f (x) < A.
2
En pratique Exemple
Inégalités STRICTES ou inégalités LARGES, choisissez ce que vous préférez.
x +2
= +∞.
lim p
x −1
x→1
En effet
∀A > 0,
Nous devons montrer que :
∃ α > 0/
∀x ∈ ]1, +∞[,
x +2
3
1
¾p
¾p
.
p
x −1
x −1
x −1
Soit A > 0. Pour tout x ∈ ]1, +∞[, minorons :
On minore en SIMPLIFIANT et en vérifiant
que ce par quoi on minore TEND TOUJOURS VERS +∞ quand x tend vers 1.
Or :
p
1
x −1
>A
⇐⇒
D’après ce qui précède :
Exemple
lim
x→+∞
p
x −1<
1
A
⇐⇒
∀x ∈ ]1, +∞[,
|x − 1| <
On arrête de minorer quand on
se sent capable de trouver α.
1
.
A2
|x − 1| < α =⇒ p
Posons donc :
1
x −1
On majore en SIMPLIFIANT et en vérifiant
que ce par quoi on majore TEND TOUJOURS VERS 0 quand x tend vers +∞.
Or pour tout x > 0 :
1
<ǫ
x2
x→+∞
1
.
A2
> A.
∀ǫ > 0, ∃ B > 0/ ∀x ∈ R,
x2
1
1
Soit ǫ > 0. Pour tout x ∈ R, majorons : 2
− 1 = 2
¶ 2.
x +1
x +1
x
lim
α=
x2
= 1.
x2 + 1
En effet
Exemple
x +2
> A.
|x − 1| < α =⇒ p
x −1
⇐⇒
∀x ∈ R,
x2
− 1 < ǫ.
x > B =⇒ 2
x +1
On arrête de majorer quand on
se sent capable de trouver B.
1
1
x > p . Posons donc : B = p .
ǫ ǫ
x2
x > B =⇒ 2
− 1 < ǫ.
x +1
x 2 − x = +∞.
En effet
∀A > 0,
Soit A > 0. Pour tout x ¾ 2, comme x − 1 ¾ 1 :
∃ B > 0/
∀x ∈ R,
¦
©
B = max 2, A .
=⇒
x 2 − x = x(x − 1) ¾ x.
On minore en SIMPLIFIANT et en vérifiant
que ce par quoi on minore TEND TOUJOURS VERS +∞ quand x tend vers +∞.
Posons donc :
x>B
x 2 − x > A.
On arrête de majorer quand on
se sent capable de trouver B.
∀x ∈ R,
x>B
=⇒
x 2 − x > A.
Théorème (Limite finie et caractère localement borné) Soient f : D −→ R et a ∈ D.
Si f possède une limite FINIE en a, alors f est bornée au voisinage de a.
Démonstration
Par hypothèse,
il existe un voisinage Va de a sur lequel : f (x) − ℓ < 1.
f (x) = f (x) − ℓ + ℓ ¶ f (x) − ℓ + |ℓ| ¶ |ℓ| + 1, donc f est bornée sur D ∩ V .
a
3
En particulier :

1.2
LIMITES D’UNE
FONCTION À GAUCHE / À DROITE EN UN POINT
Définition-théorème (Limite d’une fonction à gauche/à droite en un point) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D
et ℓ ∈ R. On suppose f définie au voisinage de a à gauche et à droite.
• On dit que f admet ℓ pour limite à gauche en a si f
admet ℓ pour limite en a. En tant que limite, la limite
D∩]−∞,a[
lim
f ou lim− f (x)
−
de f en a à gauche, si elle existe, est unique et notée :
Plus concrètement :
lim
f =ℓ
−
a
ou
x→a
lim f (x).
x→a
x<a
si :
a
— Cas où ℓ ∈ R :
∀ǫ > 0,
∃ α > 0/
∀x ∈ D,
— Cas où ℓ = +∞ :
∀A > 0,
∃ α > 0/
∀x ∈ D,
— Cas où ℓ = −∞ :
∀A < 0,
∃ α > 0/
∀x ∈ D,
a − α < x < a =⇒ f (x) − ℓ < ǫ.
a − α < x < a =⇒ f (x) > A.
a − α < x < a =⇒ f (x) < A.
• On définit de même la notion de limite à droite. Par exemple, dans le cas où ℓ ∈ R : lim
f =ℓ
a+
∀ǫ > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ D,
a < x < a + α =⇒ f (x) − ℓ < ǫ.
Exemple
si :
1
= +∞.
x
lim
x→0+
En effet
Soit A > 0. Nous cherchons α > 0 tel que :
1
>A
x
Or pout tout x > 0 :
⇐⇒
x<
1
.
A
∀x ∈ ]0, α[,
1
> A.
x
Nous pouvons donc choisir :
α=
1
.
A
Théorème (Caractérisation de la limite à l’aide des limites à gauche/à droite) Soient f : D −→ R une fonction,
a ∈ D et ℓ ∈ R. On suppose f définie au voisinage de a à gauche et à droite.
(i) Si a ∈ D :
lim f = ℓ
⇐⇒
lim
f = lim
f =ℓ
−
+
(ii) Si a ∈
/D:
lim f = ℓ
⇐⇒
lim
f = lim
f = ℓ.
−
+
Explication
a
a
a
et
a
a
ℓ = f (a).
a
Pour bien comprendre la condition « et ℓ = f (a) », jetez un œil aux deux figures de la page 2.
Démonstration
• Si :
Montrons seulement (i).
lim f = ℓ,
a
ℓ = f (a).
nous savons déjà que :
On obtient le résultat :
lim
f = lim
f =ℓ
−
+
a
a
simple restriction du domaine à D∩ ]−∞, a[ et D∩ ]a, +∞[ dans la définition de la limite :
• Réciproquement, supposons qu’on ait :
voulons montrer que :
lim f = ℓ.
a
lim
f = lim
f = ℓ = f (a)
−
+
a
— en particulier :
a
par
lim f = ℓ.
a
ℓ ∈ R.
Nous
Soit ǫ > 0. Il existe α− > 0 et α+ > 0 tels que pour tout x ∈ D :

a − α− < x < a =⇒ f (x) − ℓ < ǫ
et
a < x < a + α+ =⇒ f (x) − ℓ < ǫ .
¦
©
Posons : α = min α− , α+
et donnons-nous x ∈ D tel que |x − a| < α, i.e. a − α < x < a + α. Alors :
— si a − α < x < a, on a en fait : a − α− < x < a, donc : f (x) − ℓ < ǫ,
— si x = a : f (x) − ℓ = f (a) − ℓ = 0 < ǫ,
— si a < x < a + α, on a en fait : a < x < a + α+ , donc : f (x) − ℓ < ǫ.
Dans tous les cas : f (x) − ℓ < ǫ, c’est terminé.

Exemple
On note f la fonction x 7−→
En effet Puisque :
§
ex
1− x
lim (1− x) = 1
x→0−
si x ¾ 0
de R dans R. Alors :
si x < 0
et
x
lim e = 1,
x→0+
4
ET PUISQUE
lim f = 1.
0
:
f (0) = 1,
alors :
lim f (x) = 1.
x→0
2
2.1
MANIPULATION DES LIMITES
OPÉRATIONS
SUR LES LIMITES
Il se passe avec les fonctions la même chose qu’avec les suites pour les opérations de somme, produit, multiplication par
un scalaire et inverse — en particulier, mêmes formes indéterminées. Pour ne pas perdre de temps inutilement, nous ne nous
arrêterons pas davantage sur ces résultats, refaites un tour du côté des suites.
Théorème (Composition de limites) Soient f : D −→ E et g : E −→ R deux fonctions, a ∈ D, b ∈ E et c ∈ R.
Si :
Démonstration
lim f = b
a
lim g = c,
et si :
b
Soit Vc un voisinage de c.
Comme lim g = c, il existe un voisinage V b de b pour lequel :
Par composition :
∀x ∈ D ∩ Va ,
∀x ∈ D ∩ Va ,
g ◦ f (x) ∈ Vc .
Comme voulu :
b
Vb
b
Exemple
lim ln
x→+∞
En effet
a
PASSAGE
a

1
Pour tout voisinage Vc de c. . .
g
E
b
Vc
c
g◦f
Finalement g ◦ f envoie Va dans Vc d’un coup d’un seul.
e−2x + 1
= 0.
(e−x + 1)2
AU BROUILLON :
y2 + 1
= z 7−→ ln z. Une fois qu’on a fait ça, c’est facile,
( y + 1)2
y2 + 1
= 1 et lim ln z = 0.
= 0, lim
z→1
y→0 ( y + 1)2
x 7−→ e−x = y 7−→
on n’a plus qu’à remarquer que :
2.2
et comme lim f = b,
a
b
f
4
g(x) ∈ Vc ,
lim g ◦ f = c.
3
D
Va
f (x) ∈ V b .
. . . il existe un voisinage V b de b
que g envoie dans Vc . . .
2
. . . et donc aussi un voisinage Va de a
que f envoie dans V b .
a
∀x ∈ E∩V b ,
b
il existe un voisinage Va de a pour lequel :
lim g ◦ f = c.
alors :
lim e−x
x→+∞
À LA LIMITE DANS LES INÉGALITÉS
Théorème (Limites et inégalités strictes) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et m, M ∈ R.
(i) Si lim f < M , alors :
f (x) < M
au voisinage de a.
(ii) Si lim f > m, alors :
f (x) > m
au voisinage de a.
a
a
Démonstration
Nous prouverons seulement (ii). Posons :
ℓ = lim f .
a
Si :
ℓ = +∞,
il existe un
voisinage Va de a sur lequel : f (x) ∈ ]m, +∞[. Si au contraire ℓ ∈ R, sachant que : ℓ − m > 0 par
hypothèse, il existe un voisinage Va de a sur lequel : f (x) ∈ ]ℓ − (ℓ − m), ℓ + (ℓ − m)[ ⊂ ]m, +∞[. Dans

les deux cas : f (x) > m au voisinage de a.
5
Théorème (Limites et inégalités larges) Soient f : D −→ R et g : D −→ R deux fonctions et a ∈ D. On suppose que
f et g possèdent des limites finies en a.
Si f (x) ¶ g(x) au voisinage de a, alors :
lim f ¶ lim g.
a
a
Ce résultat est utilisé le plus souvent lorsque l’une des deux fonctions est constante.
$ ATTENTION ! $
C’est faux avec des inégalités STRICTES ! Ainsi :
Démonstration
alors que :
2.3
1
>0
x
lim(g − f ) < 0.
Raisonnons par l’absurde en supposant :
g(x) − f (x) < 0
pour tout x ∈ R∗+ , mais :
a
lim
x→+∞
1
= 0.
x
Le théorème précédent affirme
au voisinage de a — contradiction.
CARACTÉRISATION SÉQUENTIELLE

DE LA LIMITE D ’UNE FONCTION
« Caractérisation séquentielle » signifie « caractérisation en termes de suites ». Le théorème suivant contient en particulier
le résultat que nous avons appelé « Composition à gauche par une fonction » dans notre chapitre « Limite d’une suite ». Nous
l’utilisions jusqu’ici sans l’avoir démontré.
Théorème (Caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction) Soient f : D −→ R une fonction, a ∈ D et
ℓ ∈ R. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)
lim f = ℓ.
(ii)
Pour toute suite (un )n∈N de limite a à valeurs dans D, la suite f (un ) n∈N a pour limite ℓ.
a
Démonstration
(i) =⇒ (ii) On suppose que :
montrer que :
lim f = ℓ.
Soit (un )n∈N une suite de limite a à valeurs dans D. Pour
a
lim f (un ) = ℓ,
n→+∞
donnons-nous un voisinage Vℓ de ℓ. Puisque :
existe un voisinage Va de a sur lequel :
f (x) ∈ Vℓ .
d’un certain rang N . Finalement, pour tout n ¾ N :
bien que :
lim f (un ) = ℓ.
Or :
lim un = a,
n→+∞
un ∈ D ∩ V a
donc :
lim f = ℓ,
a
il
donc un ∈ Va à partir
f (un ) ∈ Vℓ .
Cela montre
n→+∞
(ii) =⇒ (i) Au lieu de travailler avec des voisinages, travaillons pour changer dans le cas particulier où
a, ℓ ∈ R. Par contraposition, supposons que f n’admet pas ℓ pour limite. Il existe alors ǫ0 > 0 tel que :
∀α > 0, ∃ x ∈ D/
|x − a| < α et f (x) − ℓ ¾ ǫ0
Æ.
1
Pour tout n ∈ N∗ , utilisons Æ avec la valeur α = . Cela nous donne un élément un ∈ D pour lequel :
n
1
et f (un ) − ℓ ¾ ǫ0 . Ce procédé de construction nous fournit bien une suite (un )n∈N∗
|un − a| <
n
de limite a à valeurs dans D pour laquelle f (un ) n∈N n’admet pas ℓ pour limite.

lim ln x = +∞
lim n! = +∞,
Exemple
Puisque :
Exemple
La fonction sinus n’a pas de limite en +∞.
x→+∞
et
n→+∞
alors :
lim ln(n!) = +∞.
n→+∞
π
En effet Pour commencer :
lim nπ = lim 2nπ +
= +∞. Pourtant : sin(nπ) = 0 −→ 0 et
n→+∞
n→+∞
n→+∞
2
π
= 1 −→ 1, et bien sûr : 1 6= 0. On conclut grâce à la caractérisation séquentielle de la
sin 2nπ +
n→+∞
2
limite.
6
THÉORÈMES D’EXISTENCE DE LIMITE
3
3.1
THÉORÈMES D’ENCADREMENT/MINORATION/MAJORATION
Théorème
Soient f : D −→ R, m : D −→ R et M : D −→ R trois fonctions, a ∈ D et ℓ ∈ R.
(i) Théorème d’encadrement :
lim m = lim M = ℓ
Si :
a
a
et si :
m(x) ¶ f (x) ¶ M (x)
au voisinage de a, alors lim f EXISTE et vaut ℓ.
a
(ii) Théorème de minoration :
lim m = +∞
Si :
a
et si :
f (x) ¾ m(x)
au voisinage de a, alors lim f EXISTE et vaut +∞.
a
(iii) Théorème de majoration :
lim M = −∞
Si :
a
et si :
au voisinage de a, alors lim f EXISTE et vaut −∞.
f (x) ¶ M (x)
a
Démonstration Pour l’assertion (i), soit ǫ > 0. Par hypothèse, il existe un voisinage Va de a sur lequel :
m(x) ¶ f (x) ¶ M (x), un voisinage Va′ sur lequel : m(x) > ℓ − ǫ et un voisinage Va′′ sur lequel :
M (x) < ℓ + ǫ. Posons : Va0 = Va ∩ Va′ ∩ Va′′ — un voisinage de a. Pour tout x ∈ D ∩ Va0 :
ℓ − ǫ < m(x) ¶ f (x) ¶ M (x) < ℓ + ǫ,
donc : f (x) − ℓ < ǫ.

Le théorème d’encadrement est souvent utilisé sous la forme suivante :
Théorème (Produit d’une fonction bornée par une fonction de limite nulle) Soient f : D −→ R et ǫ : D −→ R deux
fonctions et a ∈ D. Si f est bornée au voisinage de a et si : lim ǫ = 0, alors : lim ǫ(x) f (x) = 0.
a
3.2
THÉORÈME
x→a
DE LA LIMITE MONOTONE
Théorème (Théorème de la limite monotone) Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ +∞ avec a < b et f : [a, b[ −→ R une
fonction croissante.
(i) La limite lim
f EXISTE et est FINIE. Plus précisément :
+
a
f (a) ¶ lim
f.
+
a
(ii) Pour tout c ∈ ]a, b[, lim
f et lim
EXISTENT et sont FINIES. Plus précisément :
−
+
c
c
lim
f ¶ f (c) ¶ lim
f.
−
+
c
c
(iii) La limite lim f EXISTE et est soit finie, soit égale à +∞.
b
On dispose de résultats analogues pour les formes d’intervalles autres que [a, b[ ainsi que pour les fonctions décroissantes.
Explication
En résumé :
Si f est monotone, elle possède des limites à gauche et à droite
en tout point où cela peut avoir un sens.
Démonstration
Nous montrerons seulement l’assertion (i).
• Posons : F = f ]a, b[ . La fonction f étant croissante et définie
au voisinage de a à droite, F est une partie non vide de R minorée
par f (a), donc possède une borne inférieure (FINIE) ℓ d’après la
propriété de la borne inférieure. En outre : f (a) ¶ ℓ.
F
f (x 0 )
ℓ
b
bc
ǫ
b
x0
a
7
α
b
• Montrons que :
lim
f = ℓ.
+
a
Soit ǫ > 0. Le réel ℓ + ǫ ne minore pas F car ℓ en est le plus grand
minorant, donc : f (x 0 ) < ℓ + ǫ pour un certain x 0 ∈ ]a, b[. Posons : α = x 0 − a > 0. Pour tout
x ∈ ]a, a + α[ : ℓ − ǫ < ℓ ¶ f (x) ¶ f (x 0 ) = y0 < ℓ + ǫ, car d’une part f est croissante, et d’autre
part : ℓ = inf F .
Conclusion : ∀ǫ > 0, ∃ α > 0/ ∀x ∈ ]a, a + α[, f (x) − ℓ < ǫ, i.e. lim f = ℓ.

a+
4
EXTENSION AUX FONCTIONS COMPLEXES
$ ATTENTION ! $
Pas d’inégalités dans C, donc pas de fonctions complexes majorées/minorées/monotones ! Hélas !
Définition (Fonction bornée) Soit f : D −→ C une fonction. On dit que f est bornée s’il existe K ∈ R+ tel que :
∀x ∈ D, f (x) ¶ K.
Définition-théorème (Limite d’une fonction complexe en un point) Soit f : D −→ C une fonction, a ∈ D et ℓ ∈ C.
On dit que f admet ℓ pour limite en a si :
pour tout voisinage Vℓ de ℓ, il existe un voisinage Va de a pour lequel :
lim f (x) − ℓ = 0,
Cela revient à dire que :
x→a
∀ǫ > 0,
∃ α > 0/
∀x ∈ D ∩ Va ,
f (x) ∈ Vℓ .
ce qui nous ramène au cas des limites de fonctions réelles :
|x − a| < α =⇒ f (x) − ℓ < ǫ.
∀x ∈ D,
Le théorème d’unicité de la limite est encore valable — ainsi que les notations lim f et lim f (x), du coup.
a
x→a
Théorème (Caractérisation de la limite par les parties réelle et imaginaire) Soient f : D −→ C, a ∈ D et ℓ ∈ C. Les
assertions suivantes sont équivalentes :
(i)
Exemple
lim f = ℓ.
eix
=0
x→+∞ 1 + x 2
lim
(ii)
a
car :
lim Re( f ) = Re(ℓ)
a
et
lim Im( f ) = Im(ℓ).
a
cos x
sin x
= lim
= 0.
2
x→+∞ 1 + x
x→+∞ 1 + x 2
lim
Une fonction possédant une limite en un point est bornée au voisinage de ce point — attention : pas de ±∞ dans C !
Les notions de limite à gauche et à droite, ainsi que la caractérisation de la limite en termes de limite à gauche et à
droite, sont maintenues pour les fonctions complexes. La caractérisation séquentielle de la limite est également maintenue,
de même que les résultats sur les opérations d’addition, produit, multiplication par un scalaire et inverse, à ceci près que les
symboles ±∞ sont bannis.
Les grands théorèmes d’existence de limite — théorèmes d’encadrement/minoration/majoration et théorème de la limite
monotone — n’ont pas de sens dans le cas complexe car ils utilisent de façon essentielle la relation d’ordre ¶ sur R.
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