Signe d`une expression

1ère ES
FICHE n°3
Etudier le signe d’une fonction
I. Signe d’une fonction trinôme
Etude
b 2 ∆ 

On rappelle que P(x) = ax2 + bx + c = a x + 2a − 2
4a 

2
Notons ∆ = b − 4ac.
(voir fiche « Expressions algébriques »)
•
Si ∆ < 0, alors l’expression entre crochets sera toujours positive donc le trinôme sera toujours
du même signe que a.
•
Si ∆ = 0, alors l’expression entre crochets sera toujours positive donc le trinôme est du même
signe que a.
•
Si ∆ > 0, on sait que P(x) = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) (voir fiche « Equations »)
avec :
x1 =
−b− ∆
et x2 =
−b+ ∆
2a
2a
P(x) a alors le tableau de signe suivant :
−∞
x
x − x1
x − x2
(x − x1)(x − x2)
x1
P(x) = a(x − x1)(x − x2)
+∞
x2
−
−
+
+
−
−
+
+
+
Signe de a
Signe opposé de a
Signe de a
Définition et théorème
On considère une équation du type ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
On note ∆ et on appelle discriminant le nombre : ∆ = b2 − 4ac.
• Si ∆ < 0, P(x) est toujours du signe de a.
•
Si ∆ = 0, P(x) est toujours du signe de a (excepté pour x0 = −
•
Si ∆ > 0,
- P(x) est du signe de a à l’extérieur de x1 et x2
b
où P(x0) = 0 )
2a
avec x1 =
−b− ∆
2a
- P(x) est du signe opposé de a entre x1 et x2
EXERCICE TYPE 1
Solution
et x2 =
6x2 + x − 1 ≥ 0
Résoudre l’inéquation
(voir Ex type 3 fiche « Equations »)
On sait que ∆ = 25 et que les racines de 6x2 + x − 1 = 0 sont : x1 = −
1
1
et x2 =
2
3
Comme ∆ > 0 et comme a = 6 > 0, on a le tableau de signes suivant :
x
6x2 + x − 1
Conclusion :
−
−∞
1
2
+
1
1
S = ]−
−∞ ; − ] ∪ [ ; +∞] .
2
3
1
3
−
+∞
+
−b+ ∆
2a
II. Signe d’une expression produit
si a est négatif,
Rappel (à savoir)
−∞
x
ax + b
Méthode
−
si a est positif,
b
a
+∞
x
−
+
−∞
−
−
ax + b
b
a
+∞
+
Pour déterminer le tableau de signe d’une expression produit, on réalise un tableau de signe en
appliquant la règle des signes d’un produit…
EXERCICE TYPE 2
Déterminer le signe de (−2x−1)(3x−2) selon les valeurs de x.
Solution
x
−
−∞
1
2
2
3
+∞
−2x−1
+
−
−
3x−2
−
−
+
(−2x−1)(3x−2)
−
+
−
Cela signifie que :
(−2x−1)(3x−2) < 0 pour tous les nombres x de ] −∞ ; −
(−2x−1)(3x−2) > 0 pour tous les nombres x de ] −
1
2
[∪] ;+∞[
2
3
1 2
; [
2 3