Fonctions de référence, cours, première S - MathsFG

Fonctions de référence, cours, première S
F.Gaudon
18 mai 2010
Table des matières
1 Fonction carré
2
2 Fonction inverse
2
3 Fonction racine carrée
3
4 Fonctions anes
3
5 Fonctions polynômes
5.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Fonctions polynômes du second degré . . . . . . . . .
5.2.1 Forme canonique et Étude des variations . . .
5.2.2 Équations du second degré et Études de signe
5.2.3 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . .
1
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4
. 4
. 4
. 4
. 6
. 10
Fonctions de référence, cours, classe de première S
1 Fonction carré
•
•
•
•
•
Df = R ;
dénie pour tout x réel par x 7−→ x2 ;
décroissante sur ] − ∞; 0] et croissante sur [0; +∞[ ;
positive sur ] − ∞; +∞[ ;
représentée graphiquement par une parabole.
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
0
0
1
2
3
4
−1
−2
2 Fonction inverse
•
•
•
•
•
Df = R∗ ;
dénie pour tout x 6= 0 par x 7−→ x1 ;
décroissante sur ] − ∞; 0[ et décroissante sur ]0; +∞[ ;
négative sur −∞; 0[ et positive sur ]0; +∞[ ;
représentée graphiquement par une hyperbole ;
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
0
0
−1
−2
−3
−4
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2
1
2
3
4
5
Fonctions de référence, cours, classe de première S
3 Fonction racine carrée
•
•
•
•
Df = R+ ;
dénie pour tout x ≥ 0 par x 7−→ f (x) =
croissante sur [0; +∞[ ;
positive sur [0; +∞[.
√
x;
4
3
2
1
−2
−1
0
0
1
2
3
4
5
−1
−2
4 Fonctions anes
•
•
•
•
Df = R+ ;
dénies pour tout x réel par x 7−→ ax + b où a et b sont deux réels xés ;
croissante sur R si a > 0 et décroissante sur R si a < 0 ;
signe : si a 6=, deux cas possibles :
si a > 0 :
si a < 0 :
x
− ab
−∞
signe
de
-
0
+∞
x
signe
de
+
ax + b
• Représentées graphiquement par une droite.
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ax + b
3
− ab
−∞
+
0
+∞
-
Fonctions de référence, cours, classe de première S
5 Fonctions polynômes
5.1 Dénitions
Dénition :
• On appelle
Fonction polynôme toute fonction dénie sur R par
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
où a0 , a1 , a2 , ..., an sont des réels avec an 6= 0 et n un entier naturel ;
• l'entier naturel n est appelé
de la fonction polynôme ;
• les nombres a0 , a1 , ..., an sont appelés
de la fonction polynôme f ;
• les expressions ap xp avec 0 ≤ p ≤ n sont appelés
p de
degré
coecients
termes de degré
la fonction polynôme.
Cas particuliers :
• Toute fonction ane est une fonction polynôme de degré 1 ;
• toute fonction f dénie par f (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des nombres réels xés et a 6= 0
est une fonction polynôme
du second degré (on dit aussi trinôme du second degré).
Exemples :
P (x) = x2
Q(x) = x2 − 2x + 3
R(x) = (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3
5.2 Fonctions polynômes du second degré
5.2.1 Forme canonique et Étude des variations
Propriété et dénition :
Pour toute fonction polynôme du second degré f dénie par f (x) = ax2 +
bx + c avec a,
b,
c ∈ R et a 6= 0, on a :
f (x) = a((x − α)2 + β)
où
α=−
et
β=−
Cette écriture est appelée
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b
2a
b2 − 4ac
4a2
forme canonique de la fonction f .
4
Fonctions de référence, cours, classe de première S
Preuve :
On a :
f (x) = ax2 + bx + c
b
c
= a(x2 + x + )
a
a
b2
b
c
= a((x + )2 − 2 + )
2a
4a
a
b 2
b2
4ac
= a((x + ) − 2 + 2 )
2a
4a
4a
2
b − 4ac
b
= a((x + )2 −
)
2a
4a2
Exemple :
Soit f la fonction dénie par f (x) = 3x2 − 6x + 1. On a :
1
f (x) = 3(x2 − 2x + )
3
1
f (x) = 3((x − 1)2 − 1 + )
3
2
f (x) = 3((x − 1)2 − )
3
donc le point S de coordonnées (1; −2) est le sommet de la parabole représentant la fonction f .
Propriété :
Soit f : x 7→ ax2 + bx + c avec a 6= 0 une fonction polynôme du second
degré.
b
[ et croissante
• Si a > 0 alors la fonction est décroissante sur ] − ∞; − 2a
b
sur [− 2a ; +∞[ ;
b
[ et décroissante
• si a < 0 alors la fonction est croissante sur ] − ∞; − 2a
b
sur [− 2a ; +∞[.
Preuve :
Montrons le cas où a > 0, les autres cas se traitant de la même manière. Soient x1 et x2 deux réels de
l'intervalle ] − ∞; − 2ab ] tels que x1 < x2 . On a x1 + 2ab < x2 + 2ab < 0 puis (x1 + 2ab )2 > (x2 + 2ab )2 car
b 2
b 2
b 2
x 7→ x2 est strictement décroissante sur ] − ∞; 0] d'où x1 + 2a
) + β > (x2 + 2a
) + β et a(x1 + 2a
) + β) >
b 2
a((x2 + 2a ) + β) car a > 0 ce qui signie que f (x1 ) > f (x2 ) donc f est strictement décroissante sur
b
b
] − ∞; − 2a
[. On montre de même que f est strictement croissante sur [− 2a
; +∞[.
Remarque (admise) :
Dans un repère (O;~i; ~j) du plan, la représentation graphique de la fonction trinôme du second degré f
est une parabole dont le point S de coordonnées (α; aβ) est le sommet.
Exemple :
Soit f la fonction dénie par f (x) = 3x2 − 6x + 1. On a vu que f (x) = 3((x − 1)2 − 23 ) donc le point S
de coordonnées (1; −2) est le sommet de la parabole représentant la fonction f .
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5
Fonctions de référence, cours, classe de première S
4
3
2
y = t² − 2t − 1
1
−3
−2
−1
0
0
1
2
3
−1
−2
S
−3
−4
5.2.2 Équations du second degré et Études de signe
Dénition :
racine
• Toute solution de l'équation ax2 + bx + c = 0 est appelée
du
2
trinôme f déni par f (x) = ax + bx + c pour tout x réel.
• On appelle
du trinôme le réel ∆ déni par ∆ = b2 − 4ac.
discriminant
Exemple :
2 est une racine de 2x2 − 5x + 2.
Le discriminant du trinôme 2x2 − 5x + 2 est δ = 52 − 4 × 2 × 2 = 25 − 16 = 9.
Remarque :
Ordonner les termes du trinôme avant de calculer le discriminant.
Propriété :
Soit ∆ = b2 −4ac le discriminant du trinôme du second degré ax2 +bx+c.
• Si ∆ < 0, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solution réelle.
• Si ∆ = 0, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a une unique solution réelle
dite racine double x0 = − 2ab .
• Si ∆ > 0, alors l'équation
ax2 + bx
+ c = 0 a deux solutions réelles
√
√
−b− ∆
−b+ ∆
distinctes x1 = 2a et x2 = 2a .
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Preuve :
−4ac
On a vu auparavant que f (x) = a((x − α)2 + β) où α = − 2ab et β = − b 4a
2 .
b2 −4ac
2
On a f (x) = 0 qui s'écrit encore puisque a 6= 0, (x − α) − 4a2 = 0
2 −4ac
Donc (x − α)2 = b 4a
2 .
On reconnaît le discriminant ∆ = b2 − 4ac.
• si ∆ < 0, comme le premier membre (x − α)2 est nécessairement positif, l'équation n'a pas de
solution ;
b
est l'unique solution ;
• si ∆ = 0, l'équation s'écrit (x − α)2 = 0 donc x = α = − 2a
q
q
2
b
b
• si ∆ > 0, l'équation donne x+ 2a
= 4a∆2 ou x+ 2a
=−
d'où les deux solutions x1 et x2 en simpliant.
∆
4a2
√
√
donc x = − 2ab + √4a∆2 ou x = − 2ab − √4a∆2
Algorithmique :
Algorithme de résolution des équations du second degré c'est à dire de l'équation ax2 + bx + c = 0.
Données : a, b, c
Début traitement
∆ prend la valeur b2 − 4ac ;
si ∆ < 0 alors
Acher "Pas de solution réelle"
n
si ∆ = 0 alors
x0 prend la valeur
;
Acher "Une unique solution ",x0 ;
n
si ∆ > 0 alors
−b
2a
√
−b+ ∆
2a√
−b− ∆
2a
;
;
Acher "Deux solutions réelles distinctes",x0 ," et ",x1 ;
x1 prend la valeur
x2 prend la valeur
n
Fin traitement.
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Fonctions de référence, cours, classe de première S
Exemple :
TI :
Prompt A,B ,C
B2 − 4 ∗ A ∗ C B D
Disp "Delta",D
If D > 0
Then √
(−B + √D)/(2 ∗ A) B U
(−B − D)/(2 ∗ A) B V
Disp "U",U
Disp "V",V
Else
If D = 0
Then
−B/(2 ∗ A) B S
Disp "S",S
Casio :
XCas :
”A”? → A
”B”? → B
”C”? → C
B2 − 4 ∗ A ∗ C → D
"Delta" :D
If D > 0
√
Then ((−B + D)/(2 ∗
A) → U√
(−B − D)/(2 ∗ A) → V
"U =" :U
"V =" :V
Else If D = 0
Then −B/(2 ∗ A) → S
"S =" :S
Else "PAS DE SOLUElse
Disp "PAS DE SOLU- TION"
TION"
equation2nddegre():={
local a,b,c,d,x0,x1,x2;
saisir("a =",a);
saisir("b =",b);
saisir("c =",c);
d:=b^2-4a*c;
si d<0 alors afficher("Pas
de solution réelle.");
fsi;
si d=0 alors
x0:=-b/(2*a);
afficher("Une unique
solution",x0);
fsi;
si d>0 alors
x1:=(-b+sqrt(d))/(2*a);
x2:=(-b-sqrt(d))/(2*a);
afficher("Deux solutions
distinctes : ",x1,x2);
fsi;
};
Propriété :
Avec les mêmes notations que précédemment, on a pour f (x) = ax2 +
bx + c :
• si ∆ = 0, f (x) = a(x − x0 )2 où x0 est la racine double du trinôme ;
• si ∆ > 0, f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) où x1 et x2 sont les deux racines
distinctes du trinôme.
• si ∆ < 0, f (x) n'admet pas de factorisation dans R ;
Preuve :
−4ac
On a vu précédemment que f (x) = a((x + 2ab )2 − b 4a
2 ).
b 2
• Si ∆ = 0, on a donc f (x) = a((x + 2a ) ) ce qui est bien la factorisation attendue ;
• si ∆ > 0, on a a(x√ − x1 )(x √− x2 ) = a(x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 ) pour tout x réel.
Or x1 + x2 = −b+2a ∆ + −b−2a ∆ = −2b
= −b
.
2a
a√
√
√
√
√ 2
1
En outre, x1 x2 = 4a2 (−b + ∆)(−b − ∆) = 4a12 = (b2 − b ∆ + b ∆ − ∆ ) donc x1 x2 =
1
(b2 − ∆) = 4a12 (b2 − b2 + 4ac) = ac .
4a2
D'où a(x − x1 )(x − x2 ) = a(x2 + ab x + ac ) = ax2 + bx + c = f (x) ce qui justie le deuxième cas.
• Par l'absurde : si f (x) admettait une factorisation dans R, f (x) sécrirait f (x) = (x − r)P (x) où
P est un polynôme de degré inférieur strictement à 2 et r est un réel. f (x) admettrait donc une
racine r réelle ce qui est n'est pas le cas d'après la propriété précédente.
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2
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Fonctions de référence, cours, classe de première S
Propriété :
Avec les mêmes notations que précédemment,
• si ∆ < 0, f (x) est du signe de a sur R et ne s'annule pas ;
• si ∆ = 0, f (x) est du signe de a sur R et s'annule en x0 uniquement ;
• si ∆ > 0, f (x) est du signe de a à l'extérieur des racines x1 et x2 et du
signe opposé à l'intérieur.
Preuve :
b 2
−4ac
b 2
• Si ∆ < 0, on utilise la forme canonique f (x) = a((x + 2a
) − b 4a
2 ). On a (x + 2a ) qui est positif
2
−4ac
pour tout réel x et − b 4a
= − 4a∆2 qui est strictement positif donc f (x) est du signe de a pour
2
tout réel x.
• Si ∆ = 0, f (x) = a(x − x0 )2 d'après la propriété précédente donc f (x) est du signe de a pour tout
x réel et ne s'annule que pour x = x0 .
• Si ∆ > 0, f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ). On fait un tableau de signe suivant le signe a. Faisons le par
exemple pour a < 0. On obtient :
x
−∞
x1
x2
+∞
a
x − x1
- 0 +
+
x − x2
- 0 +
f (x)
- 0 + 0 ce qui justie la propriété dans le cas où a < 0. On procède de même pour le cas a > 0.
Exemple :
2
+6+7
Résolution de −xx+2
≥ 0.
x + 2 = 0 équivaut à x = −2 donc -2 est la seule valeur interdite.
Résolution de −x2 + 6x + 7 = 0. On a ∆ = 36 − 4 × (−1) × 7 = 64. ∆ > 0 donc l'équation admet
= −1 et x2 = −6−8
= 7.
deux solutions distinctes x1 = −6+8
−2
−2
Étude de signe :
2
x
x+2
−x2 + 6x + 7
−x2 +6x+7
x+2
−∞
-2
-1
7
+∞
- 0 +
+
+
- 0 + 0 + k - 0 + 0 -
Donc S =] − ∞; −2[∪[−1; 7]
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5.2.3 Interprétation graphique
Propriété :
Les solutions de l'équation ax2 + bx + c = 0 sont les abscisses des points
d'intersection s'ils existent de la parabole représentant la fonction f et
de l'axe des abscisses.
Interprétation :
• Si ∆ > 0, la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts ;
• si ∆ = 0, la courbe a pour unique point commun avec l'axe des abscisses son sommet ;
• si ∆ < 0, la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.
En outre, si a > 0, la parabole a ses branches tournées vers le haut et tournées vers le bas si a < 0.
3
−3
−3
−2
−2
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−1
−1
3
2
delta > 0
2
delta > 0
1
a>0
1
a<0
0
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
3
3
0
1
2
delta > 0
2
delta < 0
1
a<0
1
a<0
0
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
10
0
1
2
3
2
3