Chapitre I : Second degré

Chapitre I : Second degré
Première S
Année scolaire
2012/2013
I) Fonction polynôme du second degré :
1) Définition :
Soient a,b et c trois réels (avec a ≠ 0)
La fonction f définie sur ℝ par f(x) = ax2 + bx + c est appelée fonction polynôme de
degré 2 (ou du second degré) (a,b et c sont ses coefficients)
Exemples :
- L'aire d'un disque de rayon r en fonction de r est donnée par : A(r) = πr2
- En mécanique classique, l'energie cinétique d'un objet de masse m en fonction de sa
1
vitesse est donnée par : Ec(v) =
mv2
2
- Pour un corps en chute libre : En supposant que le corps n'est soumis qu'à la
pesanteur, si un corps ponctuel est lâché d'un point de cote z0 sans vitesse initiale et
si l'axe des z est orienté vers le haut, alors on a :
1 2
z=gt + z0 où g est l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre.
2
Remarque : On dit aussi que f est un trinôme du second degré. (car il y a trois termes)
2) Représentation graphique et variations :
Propriété :
Toute fonction polynôme de degré 2 se représente graphiquement par une parabole
(℘)
Experimentation Geogebra
Deux cas sont à distinguer :
- Si a > 0 :
- Si a < 0
(℘) est orientée « vers le haut »
- Le sommet S de la parabole a pour
b
b
coordonnées (; f())
2a
2a
x
Variations
de f
–∞
–b/2a
f(–b/2a)
(℘) est orientée « vers le bas »
- Le sommet S de la parabole a pour
b
b
coordonnées (; f())
2a
2a
+∞
x
Variations
de f
–∞
–b/2a
f(–b/2a)
+∞
II) Equations du second degré :
1) Rappel de seconde : forme canonique :
Propriété :
Toute fonction trinôme du second degré peut se mettre sous forme canonique.
C'est-à-dire :
Si f(x) = ax2 + bx + c avec a≠ 0 , alors f peut s'écrire sous la forme :
−b
f(x) = a(x – α)2 + β avec α =
2a
Démonstration :
Soient a,b,c trois réels avec a≠ 0
f(x) = ax2 + bx + c
b
c
= a( x2 +
x+
) (On peut diviser par a, car a ≠ 0)
a
a
b
b 2
Dans l'écriture x2 +
x , on reconnaît le début de (x +
)
a
2a
b 2
b
b2
2
En effet, (x +
) = x +
x+
2a
a
4a2
b 2
b2
c
) +
)
2
2a
a
4a
b 2 b2
= a(x +
) +c
2a
4a
b 2 b2
4 ac
= a(x +
) +
2a
4a
4a
2
b 2 b – 4 ac
= a(x +
) 2a
4a
−b
b 2 – 4 ac
En posant α =
et β = 2a
4a
2
f(x) = a(x – α) + β
Remarque :
b
b 2
b
f() = a x () + bx()+c
2a
2a
2a
b2
b2
=ax
+c
2a
4a2
4 ac
b2
2b 2
=
+
4a
4a
4a
2
b – 4 ac
= =β
4a
C'est-à-dire : Le sommet de la parabole représentant f a pour coordonnées (α;β)
2) Résolution de l'équation ax2+ bx + c = 0 avec a ≠ 0
a) Méthode graphique : (Rappel de seconde)
Exemple :
On considère l'équation – x2 + x + 2 = 0 (E)
On pose f(x) = – x2 + x + 2
Résoudre (E) revient à résoudre f( x) = 0
D'où : f(x) = a((x +
C'est-à-dire : déterminer les abscisses des points d'intersection de la parabole
représentant f avec l'axe des abscisses.
Par lecture graphique, on trouve deux solutions : -1 et 2
b) Méthode algébrique :
On souhaite résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0
On va suivre l'algorithme de résolution suivant :
- On commence par calculer le discriminant Δ du trinôme dont l'expression en
fonction des coefficients est donnée par : Δ = b2 – 4ac
3 cas vont se présenter :
- Soit Δ < 0 , alors l'équation n'a pas de solution réelle (on notera S = ∅)
–b
- Soit Δ = 0 , alors l'équation a une seule solution x0 =
(appelée solution
2a
–b
double)(On notera S = {
})
2a
- Soit Δ > 0 , alors l'équation a deux solutions :
x1 =
– b +√ Δ
et
2a
x2 =
– b −√ Δ
2a
(On notera S = {
Démonstration :
b 2 b 2 – 4 ac
On sait déjà que ax + bx + c = a(x +
) 2a
4a
2
On pose Δ = b – 4ac (le discriminant)
b 2
Δ
ax2 + bx + c = 0 ⇔ a(x +
) =0
2a
4a
b 2
Δ
⇔ a(x +
) =
2a
4a
Δ
b 2
⇔ (x +
) =
2a
4a2
3 cas se présentent :
Δ
b 2
- Ou bien Δ < 0 : alors
<
0
d'où
:
(
x
+
) <0
2
2a
4a
ce qui est impossible pour x ∈ ℝ donc S = ∅
- Ou bien Δ = 0 :
b 2
b
d'où : (x +
) = 0 c'est-à-dire x +
=0
2a
2a
Cette équation n'a qu'une seule solution :
2
– b +√ Δ
2a
;
– b −√ Δ
2a
})
b
b
S = {}
2a
2a
- Ou bien Δ > 0 :
Δ
Δ
b 2
b 2
Alors : (x +
) =
⇔ (x +
) =0
2
2
2a
2a
4a
4a
Donc
x=-
2
b 2 (√ Δ )
⇔ (x +
) =0
2a
(2 a )2
(on reconnaît a2 – b2 = (a+b)(a-b) )
b
√ Δ )(x + b - √ Δ ) = 0
D'où : (x +
+
2a
2a
2a
2a
C'est une équation-produit :
Si AxB = 0 , alors A = 0 ou B = 0
b
√ Δ = 0 ou x + b - √ Δ = 0
D'où : x +
+
2a
2a
2a
2a
C'est-à-dire :
x=
– b −√ Δ
2a
ou
x=
– b +√ Δ
2a
Donc S = {
– b −√ Δ
2a
;
– b +√ Δ
2a
}
Exemples :
1) Résoudre l'équation : 2x2 – 4x + 2 = 0
On calcule le discriminant : Δ = b2 – 4ac = (-4)2 – 4x2x2
= 16 – 16 = 0
D'où l'équation a une seule solution
–b
– ( – 4)
x0 =
=
=1
2a
2×2
Donc : S = {1}
2
2)
Résoudre l'équation x + x – 6 = 0
On calcule le discriminant : Δ = b2 – 4ac = 1 – 4x1x(-6) = 1 + 24 = 25 > 0
D'où l'équation a deux solutions :
x1 =
et
x2 =
– b −√ Δ
2a
– b +√ Δ
2a
=
=
– 1 – √ 25
2×1
– 1+√ 25
2×1
=
=
– 1– 5
=-3
2
– 1+5
=2
2
Donc : S = {- 3 ; 2}
c) Factorisation :
On considère une équation du second degré (E) : ax2 + bx + c = 0 (avec a≠ 0)
- Si (E) n'a pas de solution, on ne peut pas factoriser ax2 + bx + c
- Si (E) a une seule solution x0 (solution double), alors ax2 + bx + c = a(x - Si (E) a deux solutions x1 et x2, alors ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
Démonstration :
Facile en passant par la forme canonique
Exemples : 2x2 – 4x + 2 = 2(x – 1)2 et
x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
x0)2
III) Signe d'un trinôme du second degré :
1) Exemples : découverte graphique
a) f(x) = x2 + x – 6
Par lecture graphique :
f(x) ≥ 0 pour x ∈ ] - ∞ ; -3] ∪ [2 ; + ∞[ (autrement dit « à l'extérieur des
racines »)
f(x) < 0 pour x ∈ ] -3 ; 2[ (autrement dit « entre les racines »)
b) g(x) = - x2 + x + 2
Par lecture graphique :
g(x) ≥ 0 pour x ∈ [- 1 ; 2] (autrement dit « entre les racines »)
g(x)< 0 pour x ∈ ] -∞ ; -1[ ∪ ]2 ; + ∞[ (autrement dit « à l'extérieur des racines »)
Remarque : Le coefficient de
x2 est positif pour la fonction f et négatif pour g
2) Propriété :
Soit ax2 + bx + c avec a ≠ 0 et Δ son discriminant. Trois cas sont à envisager :
a) Soit Δ < 0, alors le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x
−b
b) Soit Δ = 0, alors le trinôme est du signe de a et s'annule en x =
2a
c) Soit Δ > 0, alors le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du
signe de – a à l'intérieur.
Démonstration :
a) On sait que : ax2 + bx + c = a[(x – α)2 -
Δ
4a2
]
(forme canonique)
Or, Δ < 0, d'où :
-
C'est-à-dire : (x – α)2 -
Δ
>0
4a2
Δ
>0
4a2
Donc : le trinôme est bien du signe de a pour toutes les valeurs de x
b) Comme Δ = 0, ax2 + bx + c = a(x – x0)2 avec x0 racine double du trinôme.
Or, (x – x0)2≥ 0
Donc : le trinôme est bien du signe de a pour toutes les valeurs de x et
s'annule en x0
c) Comme Δ > 0 : ax2 + bx + c = a(x –
trinôme.
Supposons x1 < x2
Tableau de signes :
x
x- x1
x - x2
(x- x1)(x - x2)
a(x- x1)(x - x2)
x1)((x – x2) où x1 et x2 sont les deux racines du
x1
-∞
x2
+∞
-
+
+
-
-
+
+
-
+
Signe de a
Signe de - a
Signe de a
Donc : le trinôme est bien du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de –
a à l'intérieur.
Exemples :
a) Etude du signe de x2 + 3x – 4 :
On calcule le discriminant : Δ = b2 – 4ac = 9 + 16 = 25 > 0 donc le trinôme admet deux
racines :
x1 =
– b +√ Δ
=
−3+5
=1
2
et
x2 =
– b −√ Δ
=
−3−5
=-4
2
2a
2a
Le trinôme sera du signe de a (c'est-à-dire positif ici) à l'extérieur des racines et du
signe de – a à l'intérieur. D'où le tableau de signes suivant :
x
–∞
–4
x^2 + 3x – 4
+
1
0
–
0
+∞
+
Autrement dit :
x2 + 3x – 4 ≥ 0 pour x ∈ ] - ∞; - 4] ∪ [1 ; + ∞[
et x2 + 3x – 4 < 0 pour x ∈ ] - 4 ; 1[
b) Résoudre l'inéquation suivante : 3x2 – 9x – 30 < 0
Δ = b2 – 4ac = 81 + 4x90 = 441 = 212 > 0 donc le trinôme a deux racines :
x1 =
– b +√ Δ
=
9+21
=5
6
et
x2 =
– b −√ Δ
=
9−21
=-2
6
2a
2a
or, a = 3 > 0. Le trinôme est du signe de – a à l'intérieur des racines : S = ] -2 ; 5 [