Exercice 21 - XMaths

Exercice 21
1°) La fonction C est une fonction du second degré, elle est représentée sur [0 ; 60] par un arc de parabole.
On peut écrire C(x) = ax2 + bx + c avec a = 1 ; b = - 10 et c = 500.
on a : - b = 10 = 5
2a 2
a étant strictement positif, on en déduit que C est décroissante sur [0 ; 5] et croissante sur [5 ; 60].
On a C(0) = 500 ; C(5) = 475 et C(60) = 3500
On peut alors tracer la courbe (C).
La droite d'équation y = 50x passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (60 ; 3000)
On obtient le graphique ci-dessous :
2°) a) Le point d'abscisse 40 de la courbe (C) a une ordonnée environ égale à 1700.
Le coût de production de 40 vases fabriqués est environ égal à 1700 euros.
b) Le point d'ordonnée 1300 de la courbe (C) a une abscisse environ égale à 34.
La production qui correspond à un coût total de 1 300 euros est d'environ 34 objets.
3°) a) Chaque vase est vendu 50 euros, donc la vente de x vases rapporte x x 50 euros
La recette est donc donnée, en euros, par R(x) = 50x pour tout x ∈ [0 ; 60].
b) L’artisan réalise un bénéfice lorsque la recette R(x) est supérieure au coût C(x).
La recette étant représentée par la droite D d'équation y = 50x et le coût étant représenté par la courbe
(C), l'artisan fait un bénéfice lorsque la droite D est au-dessus de la courbe (C).
On observe graphiquement que la droite D est au-dessus de la courbe (C) lorsque x ∈ [10 ; 50].
L'artisan réalise un bénéfice lorsqu'il fabrique entre 10 et 50 objets.
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1ère ES - L −Trinôme du second degré − Corrections
4°) a) Le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût.
On a donc B(x) = R(x) - C(x) = 50x - (x2 - 10x + 500) = 50x - x2 + 10x - 500
Donc B(x) = - x2 + 60x - 500, avec x ∈ [0 ; 60].
b) La fonction B est une fonction trinôme du second degré.
On peut écrire B(x) = ax2 + bx + c avec a = - 1 ; b = 60 et c = - 500.
on a : - b = - 60 = 30
2a
-2
a étant strictement négatif, on en déduit que
B est croissante sur [0 ; 30] et décroissante sur [30 ; 60].
On a B(0) = - 500 ; B(30) = 400 et B(60) = - 500.
On obtient le tableau de variations :
x
0
30
60
400
B
- 500
- 500
c) D'après le tableau de variations de la question précédente, le bénéfice est maximal lorsque l'artisan
produit et vend 30 vases.
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