FICHE n°7 Etudier le signe d`une fonction signe d`une

1ère S
FICHE n°7
Etudier le signe d’une fonction
I. Etudier le signe d’une expression du type « ax + b »
Propriété
x
−∞
b
a
Signe de −a
ax + b
preuve
−
+∞
Signe de a
Raisonnons par disjonction des cas :
b
a
b
ax + b est du signe de a ⇔ ax + b < 0 ⇔ ax < –b ⇔ x > −
a
ax + b est du signe de a ⇔ ax + b > 0 ⇔ ax > –b ⇔ x > −
¤ si a est positif :
¤ si a est négatif :
II. Signe d’une expression produit ou quotient
Méthode
Pour déterminer le tableau de signe d’une expression produit ou d’une expression quotient,
on réalise un tableau de signe en appliquant la règle des signes…
EXERCICE TYPE 1
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f définie par f (x) =
−5
–2 .
3x − 2
Solution
−5
– 2 qui doit être positif.
3x − 2
¤ On transforme l’expression pour la transformer en quotients et/ou produits :
−5
−5
2(3x − 2) –5 – 6x + 4 –6x – 1
–2=
–
=
=
3x − 2
3x − 2
3x − 2
3x − 2
3x − 2
–6x – 1
¤ On étudie le signe de l’expression
:
3x − 2
2
1
Valeurs remarquables :
3x – 2 = 0 ⇔ x = (valeur interdite) ; −6x − 1 = 0 ⇔ x = −
3
6
Tableau de signe :
¤ La question revient à déterminer le signe de
−∞
x
¤ Conclusion :
−
1
6
2
3
+∞
−6x − 1
+
−
−
3x − 2
−
−
+
–6x – 1
3x − 2
−
+
−
1 2
La fonction f est définie sur [ − ; [.
6 3
III.
Signe d’une fonction trinôme
Etude
b 2 ∆ 

On rappelle que P(x) = ax2 + bx + c = a x + 2a − 2
4a 

2
Notons ∆ = b − 4ac.
(voir fiche « Expressions algébriques »)
•
Si ∆ < 0, alors l’expression entre crochets sera toujours positive donc le trinôme sera toujours
du même signe que a, quelque soit les valeurs de x.
•
Si ∆ = 0, alors l’expression entre crochets sera toujours positive donc le trinôme est du même
signe que a, quelque soit les valeurs de x.
•
Si ∆ > 0, on sait que P(x) = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
−b+ ∆
et
(voir fiche « Equations »)
2a
2a
Si, par exemple, x1 < x2 , P(x) a alors le tableau de signe suivant :
où : x1 et x2 sont les racines du trinôme :
−∞
x
x − x1
x − x2
(x − x1)(x − x2)
P(x) = a(x − x1)(x − x2)
−b− ∆
x1
−
−
+
Signe de a
+∞
x2
+
−
−
+
+
+
Signe opposé de a
Signe de a
Définition et théorème
On considère une équation du type ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
On note ∆ et on appelle discriminant le nombre : ∆ = b2 − 4ac.
• Si ∆ < 0, P(x) est toujours du signe de a.
•
Si ∆ = 0, P(x) est toujours du signe de a (excepté pour x0 = −
•
Si ∆ > 0,
- P(x) est du signe de a à l’extérieur de x1 et x2
b
où P(x0) = 0 )
2a
avec x1 =
−b− ∆
2a
- P(x) est du signe opposé de a entre x1 et x2
EXERCICE TYPE 2
Solution
et x2 =
−b+ ∆
6x2 + x − 1 < 0
Résoudre l’inéquation
voir Ex type 3 fiche « Equations » pour le discriminant et les racines…
Pour ce trinôme : ∆ = 25 ; les racines de 6x2 + x − 1 = 0 sont : x1 = −
1
1
et x2 =
2
3
Comme ∆ > 0 et comme a = 6 > 0, on a le tableau de signes suivant :
x
6x2 + x − 1
Conclusion :
−∞
−
+
1 1
S = ]−
− ; [.
2 3
1
2
1
3
−
+∞
+
2a