TERMINALE ES Chapitre 12 : STATISTIQUE DOUBLES

TERMINALE ES
Chapitre 12 : STATISTIQUE DOUBLES
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SOMMAIRE
1 SERIE STATISTIQUE A DEUX VARIABLES ............................................................................................. 2
1:1 DEFINITIONS ................................................................................................................................................. 2
1.2 POINT MOYEN ................................................................................................................................................ 2
1.3 AJUSTEMENT D’UNE SERIE STATISTIQUE A DEUX VARIABLES ........................................................................ 3
2 AJUSTEMENT PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES ............................................................ 3
2.1 PRINCIPE : ..................................................................................................................................................... 3
EXEMPLE ............................................................................................................................................................. 3
2.2 AJUSTEMENT AFFINE :................................................................................................................................... 3
PRESENTATION DU CALCUL MANUEL :.................................................................................................... 4
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toutchap12
1 Série statistique à deux variables
1:1 Définitions
Définition 1: On appelle série statistique à deux variables (ou série statistique double) une
série statistique où deux caractères sont étudiés simultanément.
Présentation:
Caractère xi x1 x2 x3 …
Caractère yi y1 y2 y3 ...
Définition 2: Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points M de coordonnées (xi;yi)
constitue le nuage de points associé à la série statistique à deux variables.
Exemple:
Le tableau suivant donne la part en pourcentage consacrée au logement dans le budget d’un
foyer.
Année (xi)
1978 1984 1992 1994 2000 2004
Part en % (yi) 4.4
5.2
4.3
3.2
3.3
2.8
Part en % (yi)
6
5
4
3
2
1
0
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
1.2 Point moyen
Définition : Le point moyen d’un nuage de points est le point G de coordonnées ( x ; y ) où
x est la moyenne des xi et y la moyenne des yi.
1978 + 1984 + … + 2004
4,4 + 5,2 + … + 2,8
ie : x =
= 1992 et y =
= 3,866…
6
6
Le point moyen est donc G (1992; 3,87)
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1.3 Ajustement d’une série statistique à deux variables
Définition : Effectuer un ajustement de y en x d’un nuage de points consiste à trouver une
fonction f telle que la courbe y = f(x) passe au plus près de tous les points du nuage.
Remarque : cet ajustement est le plus souvent (mais pas toujours !) une droite.
2 Ajustement par la méthode des moindres carrés
2.1 Principe :
Effectuer un ajustement de y en x du nuage de points par la méthode des moindres carrés
consiste à minimiser la somme des carrés des écarts entre les valeurs yi observées et les
valeurs f (xi) données par la courbe de y = f(x).
n
Il faut rendre minimale, la somme ∑(yi - f(xi))²
i=1
Exemple
2.2 Ajustement affine :
Il existe plusieurs méthodes dont les deux suivantes
M1 : la méthode de Mayer
La droite est donnée par (G1G2) où G1 et G2 sont les points moyens de deux sous nuages du
nuage initial.
M2 : la méthode des moindres carrés
La droite de la forme y = ax + b (appelée aussi droite de régression) est donnée
•
Directement à la calculatrice :
Sur Casio :
Menu STAT
Saisie en Liste 1 des xi
Saisie en Liste 2 des yi
Calc
SET
2VARX….List 1
2VARY…List 2
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Calc
2VAR
On lit au passage les réponses x ; y , …
Pour la droite
REG
X
On lit au passage les réponses a = ; b = On en conclut y = ax + b
•
Par un calcul manuel :
On obtient a et b en posant a =
cov(x ;y)
V(x)
n
n
1
(xi – x )(yi – y )
et
V(x) = 1/n ∑ ( xi – x )²
∑
n
i=1
i=1
et pour b on utilise le fait que G( x ; y ) est un point de cette droite.
où cov(x ;y) =
Présentation du calcul manuel :
G
Année (xi)
1978
1984
1992
1994
2000
2004
Part en %
(yi)
4,4
5,2
4,3
3,2
3,3
2,8
xi - x
yi - y
(xi - x)(yi y)
cov =
(xi - x) ²
V=
alors
1992
3,87
-14
-8
0,53
1,33
7,46666667 10,6666667
196
0
0,43
2
8
-0,67
-0,57
0 1,33333333 4,53333333
64
0
4
64
y=
a
x
+
b
y=
-0,0779661
x
+
159,175141
12
-1,07
-12,8
144
-36,8
-6,13
472
78,67
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