1 La méthode des points moyens ou méthode de Mayer, exemple

1
2008 − 2009
Méthode des points moyens
1TH
La méthode des points moyens ou méthode de Mayer, exemple corrigé
1.1
La méthode
La série statistique {(xi; yi )} est donnée sous la forme d’un tableau à deux variables x et y. L’objectif est de rechercher
une corrélation affine entre les deux variables de la forme : y = ax + b. On admet que cette corrélation est réalisable.
Séparer le nuage des points de coordonnées (xi ; yi ) en deux parties appelées sous-nuages.
Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 de chaque sous-nuage.
Tracer la droite (G1 G2 ) dite de Mayer, droite d’ajustement affine du nuage.
Déterminer une équation y = ax + b de cette droite avec la méthode 1.1.
Utiliser cette équation pour réaliser des estimations d’une des variables en dehors des valeurs connues du tableau.
Remarque : On suppose que l’équation trouvée permet une estimation de y connaissant x, ce qui est cohérent et de x
connaissant y, ce qui l’est moins, mais ces notions seront précisées en classe de BTS avec une autre méthode. On peut
noter ŷ et x̂ les valeurs estimées.
1.2
1.2.1
Exemple corrigé : Btn juin 2002
Enoncé
La fréquentation touristique d’une station balnéaire est donnée de 1994 à 2001 dans le tableau :
Année
Rang xi
Nombre de touristes
yi en milliers
1994
1
1995
2
1996
3
1997
4
1998
5
1999
6
2000
7
2001
8
24,4
26,3
27,8
29,5
30,7
32,8
34,4
35,7
1. Représenter le nuage de points (xi , yi ) dans un repère orthogonal du plan.
2. Calculer les coordonnées des points moyens G1 et G2 des deux sous-nuages.
3. Placer ces points et tracer la droite d’ajustement du nuage (G1 G2 ).
4. Determiner une équation de cette droite sous la forme y = ax + b
5. On suppose que l’ajustement du nuage par la droite permet de formuler des prévisions.
Déterminer le nombre de touristes que l’on peut prévoir en 2004.
A partir de quelle année la fréquentation touristique dépassera 45000 touristes ?
Lycée Hôtelier de Dinard
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1.2.2
Corrigé non détaillé
1. Points moyens :
G1 (2, 5; 27) et G2 (6, 5; 33, 4) ces coordonnées sont obtenues en calculant les moyennes arithmétiques des coordonnées respectives des points de chaque sous-nuage.
La droite d’ajustement et la représentation graphique : (G1 G2 ) a une équation : y = 1, 6 x + 23 cette équation
est obtenue en utilisant la méthode du 1.1.
2. Estimations :
a. En 2004, x = 11 et en remplaçant dans l’équation, on obtient ŷ = 1, 6 × 11 + 23 = 40, 6 soit 40600 touristes.
On remarque la notation ŷ de l’estimation.
b. ŷ > 45 soit : 1, 6x̂ + 23 > 45 donne après résolution : x̂ > 13, 75 soit en 2007.
3. Représentation du nuage et de la droite d’ajustement :
yi
N
N
34
N
32
N
30
N
28
N
N
26
N
24
1
5
rangs xi
yi
N
N
34
F
N G2
32
30
y = 1, 6 x + 23
28
N
N
1
Lycée Hôtelier de Dinard
N
F
N G
1
26
24
N
5
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rangs xi
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