Leçon 08 : Statistiques Terminale Altitude (xi) 0 100 500 1000 3000

Leçon 08 : Statistiques Terminale
En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un
langage à se remémorer : étude d’un échantillon d’une population, mode, moyenne et médiane
puis réaliser une classification, ensuite sur la série étudiée, calculer la variance et l’écart type
pour savoir si la série est dispersée ou peu dispersée, enfin trouver les quartiles et faire un
diagramme en boîte avec positionnement de la médiane dans la boîte etc…. En terminale, nous
allons faire des statistiques sur deux variables en essayant de les relier entre elles par une relation
simple. Soit donc deux séries statistiques (xi) et (yi) i variant de 1 à n (n entier quelconque,
généralement, 5 ou 6 jusqu’à 10 quelquefois). Nous représenterons ces données dans un repère du plan
(P) par des points Mi(xi ;yi) afin de constituer ce que nous appelons un nuage de points.
Définition :
On appelle point moyen d’un nuage, le point G( x ; y ) x et y moyennes calculées dans chaque série.
Nous regardons ensuite si nous pouvons tracer une droite d’équation y = ax+b passant le plus prés
possible des points. Si cela est possible, nous dirons que nous avons réalisé un ajustement affine du
nuage de points et donc trouver une relation simple de la forme y = ax + b entre les deux variables.
Montrons un exemple :
Dans un avion, en pleine ascension nous notons la température extérieure en degrés avec l’altitude
correspondante en mètres, nous avons le tableau suivant :
Altitude (xi)
0
100
500
1000
3000
5000
Températures ( yi)
24°
22°
20°
13°
– 6°
– 25°
Déterminons le point moyen G : x =1600 m ; y = 8°. G(1600 ;8).
Pour réaliser un ajustement affine, nous avons une première méthode qui donne « la droite de
Mayer ». Nous partageons le nuage de points en deux sous-nuages puis cherchons les points
moyens de ces nuages G1 et G2, la droite de Mayer est la droite (G1G2).
X
y
0
100
500
X
1000 3000 5000
24°
22°
20°
y
13°
G1(200 ;22)
-6°
-25°
G2(3000 ;-6°)
(G1G2) a une équation de la forme y = ax + b.
− 6 − 22
= – 0,01. Pour trouver b, nous utilisons un des points : 22 = –0,01(200)+b et
a=
3000 − 200
donc
22 = – 2 + b c’est-à-dire b = 24. (G1G2) y = – 0,01x + 24.
Au programme, il est demandé d’utiliser la méthode dite « des moindres carrés » qui s’est
imposée à la place de la méthode de Mayer. Les coefficients sont donnés par la calculette
après avoir rentré les données concernant les deux séries statistiques.
Cela donne ici : a ≈ − 9,8 10-3 soit −0,0098 et b ≈ 23,65.
Au programme, il y a les formules donnant a et b :
Explications :
y
6
B4
5
A3
4
B2
3
A1
2
B1
(D)
A4
B3
A2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 x
Il existe une droite associée au nuage Ai i variant de 1 à n (Ici 4) telle que la somme
n
S = ∑ A i Bi soit minimale. Cette droite passe par le point moyen G( x ; y ) et elle a pour
2
1
équation y = ax + b
a=
C xy
V( x )
et
b = y − ax
1 n
1 n
(
x
−
x
)
(
y
−
y
)
=
∑ i
∑ x i yi − x y la covariance de x et de y et V(x) variance de x.
i
n 1
n 1
Faisons les calculs :
1 n
1 1
194600
C xy = ∑ ( x i − x )( y i − y) = ∑ x i y i − x y = −
n 1
n 1
6
C xy =
V( x ) =
1 n 2
19900000
xi − x2 =
∑
n 1
6
Donc :
194600
194600
1946
6
=
=−
=−
≈ −9.8 10 − 3
a=
19900000
19900000
199000
V( x )
6
 1946 
b = y − ax = 8 −  −
(1600) ≈ 23.65
 199000 
Nous retrouvons les résultats de la calculette.
Cette droite s’appelle la droite d’ajustement linéaire ou droite de régression de y par
rapport à x.
Remarque ; la calculette parle d’un coefficient r, coefficient de corrélation qui indique si
l’alignement est valable ou pas.
Règle : si |r|≈1, alors l’alignement est de bonne qualité. Ici, r ≈ −0,999.
Calcul de r :
C xy
r=
( σ l' écart type calculé sur x et y)
σx σy
C xy
−
La droite trouvée, tracée en rouge sur le graphique, a donc pour équation :
(D) y≈ − 0,0098x + 23,65 .
Les deux droites sont proches l’une de l’autre.
Elles passent par le point moyen G(1600 ; 8°). Nous pouvons le vérifier facilement pour
(G1G2) :
8 = 1600(−0,01)+24
Si la calculette donne un coefficient de corrélation r dont la valeur absolue est éloigné de 1,
cela veut dire qu’un ajustement affine ne se justifie pas car soit, les points ne sont pas assez
alignés soit, il y a une grande dispersion des données et un autre type d’ajustement s’impose.
En résumé :
Lorsque nous avons deux séries statistiques, nous pouvons représenter ces données dans un
repère du plan (P), cela donne un nuage de points et souvent les points sont alignés dans une
certaines direction. Il est possible alors à la machine de trouver les coefficients a et b (ou de
les calculer) de la droite d’ajustement (« Méthode des moindres carrés ») . Cette droite (D)
passe par le point moyen G(x ;y) du nuage.
Utilité : Cette droite va permettre des prévisions à court terme par le calcul.
Pour la température, nous pouvons la prédire pour 6000m par exemple :
y ≈ (−0,01)6000 + 24 = −36°
Remarque : le problème étudié ci-dessus a fait l’objet de recherche en physique et
effectivement, une loi a été trouvée disant que la température baisse de 1° tous les 100m soit
si on appelle t la température et ts la température au sol, x étant en mètre : t = −0,01x + ts
(Exemple : ts = 10°, pour x = 500, t1 = 5° et pour x = 600, t2 = 4°)
Voyons maintenant des nuages où l’ajustement linéaire ne se justifie pas.
Cas n°1 : un ajustement parabolique
Soit le nuage avec les points A1(1 ;1) ; A2(3 ;4) ; A3(4 ;2) ; A4(5 ;0).
y
A2
4
3
G
2
1
A3
(D)
A1
A4
0
1
2
3
4
5
6
7
8 x
La calculette donne G(3.25 ;1.75) et (D) y = − 0.2x+2.4 mais r ≈ − 0.2 très loin de 1 en
valeur absolue.
Nous voyons bien que la droite (D) des moindres carrés n’apporte rien dans ce cas. Les quatre
points par leur situation font penser à une parabole d’équation y = ax2 + bx + c. Il faut
déterminer a, b et c. Nous prenons A1(1 ; 1), A2(3 ; 4) et A4(5 ; 0). Ceci donne le système
suivant : (bonne révision pour la résolution de systèmes)
a + b + c = 1 (L1)
a+b+c=1
(L’1)
a+b+c=1
9a + 3b + c = 4 (L2) ⇔
8a + 2b = 3
(L2 – L1)(L’2) ⇔
8a + 2b = 3
25a + 5b + c = 0 (L3)
24a + 4b = − 1 (L3 – L1)(L’3)
2b = 10 (3L’2 – L’3)
Nous obtenons :
b=5
8a = 3 – 10 soit a = − 0.875
c = 1 – 5 + 0.875 = − 3.125
La parabole (P) a donc pour équation : y = − 0 .875x2 + 5x – 3.125
Reprenons le nuage :
y
4
A2
(P)
3
G
2
1
A3
A1
A4
0
1
2
3
4
5
x
Attention, la parabole ne passe pas par le point moyen du nuage.
Cas n°2 : Ajustement logarithmique
Il peut être valable lorsque nous avons une variable qui augmente peu alors que l’autre
augmente beaucoup plus vite.
Soit le nuage formé par les points suivants : A1(1 ;1) A2(3 ;2) A3(5 ;2.5) A4(10 ;3)
y
3
A4
A3
G
A2
2
1
A1
0
1
2
3
4
5
(D)
6
7
8
9
10 x
La calculette donne (D) y ≈ 0.20x +1.16 avec r ≈ 0.92 donc un ajustement linéaire est
possible car il faut |r| voisin de 1. Mais, un ajustement logarithmique est peut-être plus
judicieux. Nous allons chercher une fonction de la forme y = a ln x + b en prenant le premier
et le dernier point. Nous avons encore un petit système :
a ln 1 + b = 1
a ln 10 + b = 3
2
a=
et b = 1
ln 10
⇔
b=1
a ln 10 = 2
La fonction cherchée est donc :
2
ln x
y=
ln x + 1 = 2
+ 1 = 2 log x + 1 (Voir la leçon sur les logarithmes, nous utilisons
ln 10
ln 10
le logarithme décimal)
y
A4
3
A3
G
A2
2
1
A1
0
1
2
3
4
5
(Cf)
6
7
8
9
10
11 x
-1
Ici aussi, la courbe ne passe pas par le point moyen G du nuage.
Cas n°3 : Ajustement exponentiel
Utilisable lorsqu’une des deux variables varie beaucoup plus vite que l’autre.
Par exemple : Prenons les points suivants : A1(1 ;1) A2(3 ;7) A3(4 ;12) A4(5 ;20) et A5(6 ;42)
y
44
A5
40
36
(D)
32
28
24
A4
20
G
16
A3
12
A2
8
4
A1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
La calculette (D) d’équation y ≈ 7.45x – 11.95 avec r ≈ 0.9.
Essayons un ajustement exponentiel de la forme y = a ebx en prenant le premier et le dernier
point :
1 = a eb
42 = a e6b
42 =
e 6b
=e
eb
a n’étant pas nul, nous pouvons diviser les deux lignes, cela donne
5b
et donc 5b = ln 42 et b =
ln 42
≈ 0.75
5
Nous pouvons calculer a :
1= a e
ln 42
5
= a (e ln 42 )5 = a ( 42) 5 et donc a =
1
1
1
( 42)
1
5
≈ 0.47
La fonction serait donc : y ≈ 0.47 e0.75x.
Voyons le graphique :
44y
A5
40
36
(Cf)
32
28
24
A4
20
G
16
A3
12
A2
8
4
A1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
Voilà, nous avons fait le tour des possibilités d’ajustement d’un nuage.
Passons à la fiche d’exercices.
TERMINALE ES
Les statistiques
Exercice 1
Un nuage de points associés à une série statistique contient 10 points. Nous connaissons le
point moyen G1 ( x1 ; y1 ) des 5 premiers points et le point moyen G2 ( x 2 ; y 2 ) des 5 derniers
points. Peut-on trouver les coordonnées du point moyen G du nuage complet ?
Exercice 2 – Covariance
Que se passe-t-il pour la covariance si on effectue un changement d'inconnue x'i = xi – 2000 ?
Application – vérification
Si on a une série chronologique, où les xi représentent par exemples des années :
xi
2001
2002
yi
12
15
2003 2004
10
12
2005
2006
2007
12
16
21
(yi nombre d'avions vendus)
Effectuer xi’ = xi – 2000 puis calculer Cxy et Cx'y, Conclusion ?
Exercice 3
Nous voulons étudier l’évolution de la population d’une commune.
Un relevé a été fait et donne le tableau suivant :
Années
x
1980 1990 2000 2002 2010
0
10
20
22
30
Population y 2030 2500 3000 3200 3400
Calculer les coordonnées du point moyen G. Représenter ce nuage de points. A la calculette,
déterminer les coefficients a et b de la droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés
puis les retrouver par le calcul.
Donner ensuite l’équation de la droite d’ajustement affine et tracer la sur le graphique.
Vérifier que G appartient à cette droite.
Quelle prévision pour 2020 cette droite permet-elle de faire ?
Exercice 4
On veut étudier une population animale en voie de disparition :
Année xi
1940 1950 1960 1970 1980 1990
Rang x’i
0
10
20
30
40
50
Population
100
30
en milliers yi 14000 4400 1200 200
1. Représenter graphiquement le nuage formé par les points A de coordonnées x'i et yi.
Un ajustement affine est-il adapté ? Pourquoi ?
2. Nous prenons zi = ln yi ; représenter le nuage formé par les points B de coordonnées x'i
et zi. Que constate-t-on ?
Donner une équation de la droite d'ajustement avec la méthode des moindres carrés.
3. Montrer que l'on peut exprimer y en fonction de x’ par une fonction de la forme :
y = a bx’ . Déterminer a et b.
En quelle année peut-on prévoir qu'il restera 1 seul animal de cette population ?
Exercice 5 (Type BAC)
Nous voulons étudier l’évolution de la population mondiale entre 1950 et 1990. Nous avons
les données suivantes :
Années
1950
Rangs
0
Populations 2.5
1960
10
3
1970
20
3.6
1980
30
4.3
1990
40
5.2
Faire un graphique.
L’allure de ce graphique suggère un modèle d’ajustement sous la forme f(t) = AeBt où t
désigne le rang de l’année avec comme origine 1950 et f(t) la population en milliard
d’habitants.
1) Déterminer A et B en utilisant le premier et le dernier point du nuage (Donner A et B à 10−4
prés). Dans la suite du problème, nous prendrons f(t) = 2.5 e0.018t.
2) Représenter graphiquement cette fonction.
3) A l’aide du modèle proposé, donner une estimation de l’année au cours de laquelle la
population dépassera 10 milliards d’habitants.
f ( t + 1) − f ( t )
4) Calculer
f (t)
Donner une valeur exacte puis une valeur approchée. Interpréter ce résultat.
(Faire une représentation graphique dans un repère semi logarithmique)
Exercice 6
Nous avons le tableau suivant :
1
2
3
4
5
6
7
8
A
xi
20
30
50
70
80
100
120
B
yi
50
68
108
150
175
220
250
C
axi+b
?
?
?
?
?
?
?
Entrer ces données dans une feuille de
calcul Excel.
En utilisant les commandes :
=droitereg(B2 :B11 ;A2 :A11) et
=ordonnee.origine(B2 :B11 ;A2 :A11)
déterminer a te b les coefficients de la
droite (D) d’ajustement par la méthode des
moindres carrés.
Calculer alors axi + b
Faire un graphique dans la feuille pour
illustrer ceci.
(En sélectionnant la colonne xi et axi + b,
nous pouvons tracer (D))
Correction
Exercice 1
La définition du point moyen d’un nuage formé par dix points est : G( x ; y)
Ici nous connaissons G1 point moyen des 5 premiers points avec :
5
∑xi
x1 =
1
5
et y1 =
∑y
i
5
5
nous en déduisons : 5x1 = ∑ x i et 5y1 = ∑ y i
1
5
5
1
Nous avons de même pour G2 point moyen des 5 derniers points :
10
1
10
∑xi
∑y
i
10
10
et y 2 =
nous en déduisons : 5x 2 = ∑ x i et 5y 2 = ∑ y i
5
5
6
6
Nous pouvons donc trouver les coordonnées de G le point moyen de tout le nuage, en effet :
x2 =
6
6
10
x=
∑x
5
10
∑x + ∑x
i
i
10
5
∑y ∑y + ∑y
i
i
i
=
et y =
=
10
10
10
5x + 5x 2
5y + 5y 2
x= 1
et y = 1
10
10
1
1
10
6
1
1
i
6
10
Exercice 2
Nous effectuons un changement d'inconnue x'i = xi – 2000. Calculons la nouvelle covariance
1 n
1 n
Cx’y : C x ' y = ∑ ( x ' i − x )( y i − y) = ∑ x 'i y i − x ' y
n 1
n 1
n
x' =
n
∑ x' ∑ x
i
1
n
=
i
n
− 2000
=
1
n
n
∑ x ∑ 2000
i
1
n
−
1
n
n
=x−
2000∑1
1
n
=x−
2000n
= x − 2000
n
Donc si on enlève 2000 à chaque valeur, il est normal que la moyenne soit diminuée de 2000.
1 n
1 n
C x ' y = ∑ x ' i y i − x ' y = ∑ ( x i − 2000) y i − ( x − 2000)y
n 1
n 1
=
1 n
1 n
x i y i − ∑ 2000 y i − xy + 2000 y
∑
n 1
n 1
=
1 n
1 n 
x
y
−
x
y
−
2000
 ∑ y i  + 2000 y
∑ i i
n 1
n 1 
=
1 n
∑ x i y i − xy − 2000y + 2000y
n 1
=
1 n
∑ x i y i − xy
n 1
Conclusion : La covariance ne change pas si on effectue un changement de variable de la
forme x’i = xi + b b étant un réel quelconque.
Remarque : Nous avons vu aussi en 1°ES, que la variance ne change pas si on effectue un
changement de variable de la forme x’i = xi + b b étant un réel quelconque. Il est donc bon
de remarque que le coefficient a de la droite d’ajustement est inchangé mais b change si on
effectue un tel changement de variable (Même chose pour les yi si cela facilite les calculs).
Conclusion : si les xi et/ou les yi sont des nombres trop grands alors on peut effectuer des
changements de variable pour rendre les calculs plus simples. La droite d’ajustement par la
méthode des moindres carrés garde le même coefficient directeur et seul b l’ordonnée à
l’origine change.
Application vérification :
xi 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
yi
12
15
10
12
Calculons xi’ (xi’ = xi – 2000)
12
x i’
5
1
2
3
4
16
6
21
7
1 n
1
 98  31
x i y i − x y = (196423) − ( 2004)  =
∑
n 1
7
 7  7
C xy =
(yi nombre d'avions vendus)
1 n
1


 x = ∑ x i = (14028) = 2004 
n 1
7


1 n
1
98 

 y = ∑ y i = (98) = 
n 1
7
7

Cx'y =
1 n
1
 98  31
x ' i y i − x ' y = ( 423) − (4)  =
∑
n 1
7
 7  7
1 n
1


 x ' = ∑ x i ' = (28) = 4 
n 1
7


Remarque : si nous poursuivons le calcul pour avoir la droite d’ajustement dans les deux cas,
nous trouvons : V(x)=4
31
C xy
31
a=
= 7 =
;
V( X ) 4 28
b = y − ax =
98  31 
98 15531
15433
−  (2004) =
−
=−
7  28 
7
7
7
Donc (D) y ≈ 1.1x − 2204.7
Avec le changement de variable, V(x’) = 4 , inchangé. Nous aurons :
31
31
a=
= 7 =
V( X) 4 28
C xy
;
b = y − ax =
98  31 
98 31 67
−  ( 4 ) =
− =
7  28 
7
7
7
et donc (D’) y ≈ 1.1x + 9.6
Exercice 3
xi représente le nombre d’années à partir de 1980 et yi donne le nombre d’habitants de la
commune. x = 16,4 et y = 2826. Le point moyen G aura pour coordonnées (16,4 ; 2826).
Représentons le nuage de points :
y
M
4000
3500
(D)
3000
G
2500
2000
1500
1000
500
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60 x
Le point G est bien au centre du nuage. Les points sont relativement alignés et la calculette
donne :
a ≈ 47,6 soit a ≈ 48 et b ≈ 2045,3 soit b ≈ 2045. Le coefficient de corrélation r entre x et y est
de 0,992 donc l’ajustement affine est valable.
Retrouvons tout ceci par le calcul :
1 n 2
1
V( x ) = ∑ x i − x 2 = (1884) − (16.4) 2 = 107.84
n 1
5
1 n
1
C xy = ∑ x i y i − x y = (257400) − (16.4)(2826) = 5133.6
n 1
5
C xy
5133.6
5133.6
220564.8
≈ 47.6 ; b = y − ax = 2826 −
(16.4) =
≈ 2045.3
V( X ) 107.84
107.84
107.84
La droite d’ajustement (D) aura pour équation :
a=
=
(D) y ≈ 48x + 2045
(Pour la calculette CASIO, nous entrons les données dans le module STAT puis on choisit
REG et enfin F1). Vérifions que G appartient à la droite (D) : 48(16,4) + 2045 = 2832, il y a
une différence de 6 habitants car nous avons pris une valeur approchée pour a et b. en fait, si
nous prenons 47,603 pour a et 2045,296 pour b alors 47,603(16,4) + 2045,296 = 2825,985
donc en fait 2826.
Nous pouvons alors effectuer une prévision pour 2020 c’est-à-dire x = 40 (2020 – 1980), cela
donne une idée du nombre d’habitants pour l’avenir. y ≈ 48(40) + 2045 ≈ 3965 personnes.
Exercice 4
Années
xi
1940
1950
1960
1970
1980
Rangs
x i’
0
10
20
30
40
Population yi
14000
4400
1200
200
100
1) Représentons le nuage formé par les Ai de coordonnées xi’ et yi :
1990
50
30
y
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80 x
Nous sommes en présence d’une décroissance exponentielle et nous voyons que les points ne
sont pas assez alignés pour permettre un ajustement affine. Si nous entrons les données dans
la calculette, nous voyons que r ≈ − 0.82 donc l’ajustement affine n’est pas adapté à ce nuage.
2)
Rangs xi’
0
10
20
30
40
50
zi = ln yi ln14000 ≈9.55 ln4400≈8.39 ln1200≈7.09 ln200≈5.30 ln100≈4.61 ln303.40
Représentons à nouveau le nuage formé par les points B de coordonnées xi’ et zi = ln yi :
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80 x
Nous constatons que les points sont relativement bien alignés.
Déterminons une équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres
carrés :
1 n
150
x' = ∑ x i =
= 25 ;
n 1
6
1 n
1
z = ∑ z i = (ln(14000) + ln(4400) + ln(1200) + ln(200) + ln(100) + ln(30)) ≈ 6.3885
n 1
6
V( x ' ) =
C x 'z
1 n
1
1750 875
x i ' 2 − x ' 2 = (5500) − ( 25) 2 =
=
∑
n 1
6
6
3
1 n
1
= ∑ x i ' z i − x ' z ≈ (738.9113) − ( 25)(6.3885) ≈ −36.5606
n 1
6
Calculons les coefficients a et b de la droite d’ajustement :
C
− 36.5606
a = x 'z ≈
≈ −0.1254 donc environ − 0.13
V( x ) 291.6667
b = z − ax ' ≈ 6.3885 − ( −0.1254)( 25) ≈ 9.5235 soit environ 9.52
La droite aura pour équation :
z ≈ −0.13x’+9.52
3) Nous avons z = ln y ≈ −0.13x’+9.52
Donc y ≈ e−0.13x’+9.52 soit y ≈ e−0.13x’e9.52 et donc y ≈ 13630 e−0.13x’.
y peut s’écrire : y ≈ 13630 (e−0.13)x’= 13630 (0.88)x’.
Nous pouvons alors chercher x’ tel que y ≈ 1 :
13630(0.88)x’≈1 . Nous pouvons utiliser ln pour déterminer x’:
ln(13630(0.88)x’) ≈ ln 1 soit
ln(13630)+ln((0.88)x’) ≈ 0
9.52+x’ln(0.88) ≈ 0 et donc
− 9.52
x' ≈
≈ 74.5
ln 0.88
En conclusion, la population animale sera éteinte environ en 1940+75 soit 2015.
Exercice 5
Années
1950
Rangs
0
Populations 2.5
1960
10
3
1970
20
3.6
1980
30
4.3
1990
40
5.2 (en milliards d’habitants)
Nous posons t le rang de l’année et f(t) la population correspondante.
Nous utilisons un modèle exponentiel car le développement de la population correspond à une
croissance exponentielle, ce qui inquiète les scientifiques pour la question de la nourriture et
de l’eau sur terre.
1) f(t) =AeBt A et B réels vont être déterminés grâce au premier et au dernier point :
Ceci donne un système :
2.5 = Ae0
A = 2.5
ln 2.08
≈ 0.0183
e40B = 2.08 ce qui donne 40B = ln 2.08 soit B =
5.2 = Ae40B ⇔
40
Nous avons donc à 10−4 prés A = 2.5000 et B = 0.0183.
La fonction réalisant le modèle sera donc f(t) = 2.5 e 0.0183t.
Pour la suite du problème, nous prendrons f(t) = 2.5 e 0.018t.
2) représentation graphique :
Pour déterminer graphiquement en quelle année, nous aurons 10 milliard d’habitants sur la
terre, il suffit de tracer y = 10 et de voir le t correspondant.
Cherchons par le calcul :
2.5 e 0.018t > 10 (nous utilisons ln car si a > b > 0 alors ln a > ln b)
ln 2.5 e 0.018t > ln 10 ⇔ ln 2.5 + ln e 0.018t > ln 10
(ln e a = a)
10
ln
ln 4
et si on prend t entier t > 78.
Soit : 0.018t > ln 10 – ln 2.5 ou t > 2.5 donc t >
0.018
0.018
La population mondiale d’après le modèle utilisé dépassera 10 milliards d’habitants en :
1950 + 78 soit environ en 2028.
(Nous sommes environ 7 milliards en 2011)
4)
f ( t + 1) − f ( t ) 2.5e 0.018( t +1) − 2.5e 0.018t e 0.018( t +1) − e 0.018t e 0.018t e 0.018 − e 0.018t
=
=
=
f (t)
2.5e 0.018t
e 0.018t
e 0.018t
f ( t + 1) − f ( t ) e 0.018t (e 0.018 − 1)
=
= e 0.018 − 1
0.018 t
f (t)
e
Ce rapport a donc pour valeur exacte e0.018 – 1 et comme valeur approchée 0.018.
Il ne dépend pas de t et donne le taux d’évolution en % soit environ 1.8% par an.
Représentation en semi logarithmique :
y
10
7
6
5
4
3
2
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80 x
En fait, sur l’axe des ordonnées, nous avons ln 1, ln 2, ln 3 etc et nous écrivons 1,2 ou 3 etc..
Les points apparaissent alors bien alignés et si nous tapons la fonction f, elle apparaît comme
une droite.
Exercice 6
A
B
C
x
20
30
50
70
80
100
y
50
68
108
150
175
220
axi + b
48,6
69,2
110,5
151,8
172,4
213,6
120
250
254,9
(série 1) (série 2)
a = 2,0631295
b = 7,33273381
(Calculs par Excel des coefficients a et b de (D))
a est calculé avec :" =droitereg (B2:B8;A2:A8)"
entré dans la cellule suivant a=
b est calculé avec
: "=ordonnee.origine (B2:B8;A2:A8)"
entré dans la cellule suivant b=
Dans la dernière colonne, nous avons calculé avec
x, a et b,
La droite d'ajustement a donc pour équation ;
y ≈ 2,1 x + 7,3 (approximation au dixième)
dixi
(tracé rouge sur le graphique)
300
250
200
150
100
50
0
0
50
Série1
100
150
Série2
Nous avons ici un nuage ascendant et l’ajustement par une droite est valable.
valable