STATISTIQUES AJUSTEMENTS LINEAIRE

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Statistiques : ajustements - 1/3
STATISTIQUES
AJUSTEMENTS LINEAIRE, LOGARITHMIQUE ET EXPONENTIEL
Objectifs : Utiliser les ajustements linéaire, exponentiel et logarithmique pour étudier la tendance d'une
évolution (démographie en Afrique et au Canada). Introduction à la graduation semi-logarithmique.
Public : Classes de terminales (en particulier la série ES).
Prérequis : Etude des fonctions logarithme népérien et exponentielles.
Activité en classe :
1ère Partie : Evolution de la population africaine
Dans le tableau suivant, on donne la population de l'Afrique. Dans la première ligne on indique l'année
(50 signifie 1950) et la population est donnée en millions d'habitants.
Année
Population
en Afrique
50
60
70
80
90
201
278
362
477
682
.Z
• Rentrer dans l'éditeur statistique (
) et choisir un nom de
fichier (demograf par exemple).
• Régler la largeur des colonnes à 10 caractères (
).
• Après avoir donné un titre aux colonnes (mettre en surbrillance la
case prévue pour le titre, puis l'écrire), rentrer les données
concernant l'année et la population africaine.
¯!
1- Nuage des points et point moyen
• Dans la case r6c1 écrire mean(c1) et dans la case r6c2 écrire
mean(c2). On obtient ainsi les valeurs moyennes.
• Dans
, remonter sur Plot 1: , appuyer sur
.
• Choisir les options Scatter pour avoir des points non reliés et Box
pour que les points soient matérialisés par des carrés.
• Ecrire c1 pour x et c2 pour y, puis
.
• Choisir le ZoomData (
) pour que la fenêtre s'ajuste
automatiquement et que le tracé s'effectue.
• La commande trace ( ) permet de passer d'un point à l'autre.

bN
c
2- Ajustement linéaire
!Y.Z
e
• Ouvrir le fichier demograf (
), puis appuyer sur
.
• Choisir l'option Linreg (
),c1 pour x et c2 pour y, et y1(x) pour
Store RegEQ (cela permet de mémoriser l'équation de la droite de
régression dans y1).

• En appuyant sur
on obtient la droite de régression et le
coefficient de corrélation.
• En appuyant sur
, le graphique est complété par la droite.
On peut constater qu'elle passe bien par le point moyen.
3
T - © Texas Instruments
Lieux de points, Coniques, Statistiques
R. Coste, P. Jacquinot
3- Ajustement exponentiel
.Z
!X

e
Bien que le coefficient de corrélation soit bon (0,976), l'allure du nuage des points nous incite à rechercher un
ajustement plus élaboré : un ajustement exponentiel.
), puis appuyer sur
.
• Choisir l'option ExpReg (
),c1 pour x et c2 pour y, et y2(x) pour
x
x ln b
Store RegEQ . y2(x) est de la forme a.b soit a.e .
• Dans
, on peut constater les progrès réalisés dans
l'ajustement. (N.B. la courbe ne passe pas par le point moyen).
4-Vers la graduation semi-logarithmique
• Dans
, après avoir limité le nombre de chiffres significatifs à
4(
Display Digits ...Float 4), on peut faire apparaître y1(x) puis
Ln(y1(x)). On obtient évidemment la forme : Ln(y) = a.x +b. Nous
allons retrouver ce résultat.
.Z
).
• Effacer les cases donnant le point moyen (le Ln d'une moyenne
n'est pas la moyenne des Ln, on ne peut donc pas garder ces
valeurs.
• Mettre en surbrillance la case c3, taper Ln(c2),
. On obtient
ainsi le Ln de toutes les valeurs de c2.
e

• Recommencer un ajustement linéaire (dans
), mais cette fois-ci
en choisissant c1 pour x, c3 pour y, et Store RegEQ dans y3(x). On
remarque que le coefficient de corrélation est meilleur (0.998).

bN
• Dans
, effacer y1 et y2.
• En remontant sur Plot 1 et en appuyant sur
, on modifie "y" en
mettant c3 à la place de c2.
• Avec
, on redemande Zoomdata et on obtient la droite de
régression entre x et Ln y; Les progrès par rapport à celle obtenue
avec x et y sont nettement visibles. Les élèves sont près à faire une
représentation graphique sur du papier gradué en semilogarithmique (graduation Ln sur l'axe des ordonnées).
2ème Partie : Evolution de la population canadienne
On donne maintenant l'évolution de la population canadienne pendant les mêmes années :
Année
Population
au Canada
3
50
60
70
80
90
13.1
17.7
21
23.8
26.2

fY
, effacer y3 et Plot 1.
• Dans
• Ouvrir le fichier demograf. Mettre en surbrillance une case quelconque de la colonne c3, puis avec
,
effacer la colonne. Faire de même avec c2.
• Rentrer la population canadienne en c2 et les titres des colonnes, demander une régression linéaire entre
c1 et c2, puis le nuage des points et le tracé de la droite (ne pas oublier de passer par ZoomData pour
avoir des bonnes unités).
• Vu la forme du nuage, on cherche un ajustement logarithmique. On obtient cette fois une relation de la
forme y = a + b.Ln(x). Le tracé de la courbe donne un meilleur ajustement.
• En Définissant c3 = Ln(c1) et demandant un ajustement linéaire entre c3 et c2, on obtient un meilleur
coefficient. Le nouveau tracé permet de le confirmer.
Ci-dessous les écrans successifs obtenus :
3
Saisie des données
Régression linéaire c1, c2
Nuage des points avec c1 et c2
Recherche d'un ajustement
logarithmique
Le résultat obtenu
L'ajustement par la courbe est
meilleur que celui par la droite
c3 = Ln(c1)
Recherche d'une régression
linéaire avec c3 (=Ln(c1)) et c2
Amélioration montrée par le
nouveau coefficient de corrél.
Définition de Plot 1
La droite de régression entre
c3 (=Ln(c1)) et c2