Feuille d`exercices n 3 : inversion de matrices

U NIVERSIT É
DE
ISFATES L1 - 2006-2007
M ETZ
D ÉPARTEMENT
DE
M ATH ÉMATIQUES
Feuille d’exercices n◦ 3 : inversion de matrices
Exercice I
Inverser les matrices







1 −2 2 1
1 1 0
1 4 7
2
1 1
 1 −1 5 0
A =  −1 1 0  , B =  2 5 8  , C =  4 −6 0  , D = 
 2 −2 11 2
1 1 1
3 6 9
−2
7 2
0
2 8 1


.

Exercice II
 Résoudre



 x +3y +3z = 1  x +3y +3z = 1  x +3y +3z = 3  x +3y +3z = 3
2x +6y −2z = 1 , 2x +6y −2z = 2 , 2x +6y −2z = 2 , 2x +6y −2z = 3 .




x −y +2z = 1
x −y +2z = 3
x −y +2z = 1
x −y +2z = 3
Exercice III
La couleur et l’intensité de la lumière peuvent être représentées par un vecteur
 
r
C = g 
b
r = intensité de la composante rouge
g = intensité de la composante verte
b = intensité de la composante bleue
où
La rétine d’un oeil humain est composée de deux types de récepteurs : les cônes et les bâtonnets. Les
premières sont responsables de la vision à faible niveau d’énergie (vision nocturne dite scotopique et
vision à niveaux de gris) et ne voient pas les couleurs. Ils mesurent l’intensité i de la lumière visible.
Les secondes sont responsables de la vision diurne colorée. La vision de ces couleurs n’est pas toutefois
directe, mais est envoyée au cerveau au moyen d’un signal
 
i
I = l 
c
r+g+b
3
l = intensité des ondes longes = r − g
r+g
c =intensité des ondes courtes = b −
2
i=
où
intensité de la lumière =
1. Déterminer la matrice A telle que AC = I.
2. Calculer, si possible, l’inverse de A.
3. Donner les composantes r, g, b en fonction de i, l, c.
Référence : M. de Gee, Wiskunde in Werking, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2002.
Exercice IV
Trouver des exemples de matrices A et B telles que
1. A + B n’est pas inversible alors que A et B le sont.
2. A + B est inversible alors que A et B ne le sont pas.
3. A, B et A + B .