TS 2016 NOM, Prénom : Correction Devoir Sur Table 2 (2h) Le : 26

TS 2016 NOM, Prénom :
Correction
Devoir Sur Table 2 (2h) Le : 26/11/2016
Exercice 1 : (6 points) Soit f la fonction définie sur R, par f (x) = −x3 + 2x2 + 1.
1. Justifier lim f (x) = +∞ et lim f (x) = −∞.
x→−∞
x→+∞
2
1
1
1
+ ), où lim
= lim 3 = 0
n→∞ x
n→∞ x
x x3
et lim x3 = +∞, lim x3 = −∞
f (x) = x3 (−1 +
n→+∞
n→−∞
Les théorèmes de Limites et Opérations donnent lim f (x) = −∞ et lim f (x) = +∞
n→+∞
n→−∞
2. Justifier que f est continue sur R.
f est somme de fonctions continues sur R, alors continue sur R.
3
3. Justifier que l’équation f (x) = admet une unique solution dans l’intervalle [0; 1].
2
On pourra dresser, en justifiant, le tableau de variation de f .
f est somme de fonctions dérivables sur R, donc dérivable sur R,
f ′ (x) = −3x2 + 4x = x(−3x + 4), on obtient alors le tableau de variations
x
f ′ (x)
−
+∞
4
3
0
0
−∞
❅
f
❅
❘
❅
0
+
✒
3
4
f( ) >
3
2
+∞
−
❅
❅
3
f (0) = 1 <
2
❘
❅
−∞
4
3
3
> 1, f continue, strictement croissante sur [0; 1] avec f (0) < et f (1) = 2 > ,
3
2
2
3
le Théorème des Valeurs Intermédiaires assure, l’équation f (x) = admet une unique solution dans l’intervalle [0; 1]
2
4. On donne l’algorithme suivant :
Variable
Initialisation
Traitement
Sortie
a réel
a prend la valeur 0.
TANT QUE −a3 + 2a2 + 1 > −104
FAIRE a prend la valeur a + 1
FIN TANT QUE
Afficher a
(a) Expliquer pourquoi, l’algorithme s’arrête.
lim f (x) = −∞, alors pour tout m donc pour −104 , il existe un x0 tel que pour tout x > x0 , f (x) < m
x→+∞
Donc l’algorithme s’arrête.
(b) Que représente la valeur a affichée en sortie d’algorithme ?
la valeur affichée est le plus petit entier> 0 tel que f (a) ≤ −104
(c) Quelle est la valeur a affichée en sortie d’algorithme ?
La calculatrice nous affiche 23
On peut vérifier f (23) = −11108 et f (22) = −9679
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Exercice 2 : (5 points) On considère l’équation (E) : z 3 − 4z 2 + 8z − 8 = 0.
1. Justifier que 2, est solution de (E).
23 − 4 × 22 + 8 × 2 − 8 = 0
2. Déterminer les réels a, b et c tels que
(z − 2)(az 2 + bz + c) = z 3 − 4z 2 + 8z − 8
(z + 2)(az 2 + bz + c) = az 3 + (b + 2a)z 2 + (c + 2b)z + 2c
Par identification avec z 3 − 4z 2 + 8z − 8,
On obtient a = 1, b = −2 et c = 4
3. Résoudre dans C l’équation (E).
Équation produit nul,
Pour z 2 −√
2z + 4 ∆ = −12√< 0 deux racines complexes conjuguées,
z1 = 1 + i 3 et z2 = 1 − i 3
Les solutions sont {2; z1 ; z2 }
4. On donne les points
√ respectives
√ A, B et C d’affixes
zA = 2, zB = 1 + i 3 et zC = 1 − i 3.
2
(a) Que peut-on dire de zB et zC ? Que peut-on dire des points B et C ?
zB et zC sont conjugués, les points B et C symétriques par rapport à l’axe des
abscisses.
(b) Déterminer le module et l’argument ΘB de zB .
Donner l’écriture trigonométrique
de zB .
√
√
3
1
+i
|zB | = 3 + 1 = 2, zB = 2
2
√2
1
3
π
cos(ΘB ) = et sin(ΘB ) =
, Alors ΘB = ,
2
3
π 2 π + i sin
zB = 2 cos
3
3
(c) Déterminer le module et l’argument ΘC de zC .
Donner l’écriture trigonométrique de zC .
π
Comme précédement, on obtient |zC | = 2, et ΘC = −
3
π π
+ i sin −
zC = 2 cos −
3
3
(d) Écrire un programme de construction à la règle et au compas de B.
B appartient au cercle de centre O de rayon 2.
1
cos(ΘB ) = , B appartient à la droite (OM )
2
1
où M intersection de x = et du cercle de centre O de rayon 1,
2
sin(ΘB ) > 0, l’ordonnée de B est positive.
(e) Placer A, B et C. Laisser les marques de construction.
1
×
×
B
M
×
−2
1
−1
2
−1
×
−2
C
A
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Exercice 3 : (3 points)cours
1. Montrer par récurrence que pour tout réel a > 0, et pour tout n ∈ N, (1 + a)n ≥ 1 + na.
Soit a > 0, On note Pn la propriété (1 + a)n ≥ 1 + na
Pour n = 0, (1 + a)0 = 1 et 1 + 0 × a = 1, P0 est vraie
Supposons pour un n quelconque, Pn vraie, Alors (1 + a)n+1 ≥ (1 + a) × (1 + na) = 1 + (n + 1)a + na2 ≥ 1 + (n + 1)a,
Pn+1 vraie
La propriété Pn est vraie pour n = 0, elle est hérédiatire, Alors par réccurence elle est vraie pour tout n entier.
2. En déduire que pour tout réel q > 1, lim q n = +∞.
n→+∞
On écrit pour q > 1, q = 1 + a, avec a > 0. De la question précédente, pour tout n ≥ 0, q n ≥ 1 + na
lim n = +∞, par somme lim 1 + na = +∞
n→+∞
n→+∞
Enfin le théorème de comparaison donne , pour tout réel q > 1, lim q n = +∞.
n→+∞
Exercice 4 : (6 points) On donne la suite (an ) définie par
. Partie A :

a0 = 13
an+1 =
4
1
an + , pour tout n ∈ N
5
5
1. Montrer par récurrence que pour tout entier n, an ≥ 1.
Notons Pn la propriété an ≥ 1,
Pour n = 0, a0 = 13, P0 est vraie.
4
1
Supposons pour un n quelconque, Pn vraie, Alors an+1 ≥ × 1 + = 1, ainsi Pn+1 vraie, la propriété Pn est héréditaire.
5
5
La propriété Pn est vraie pour n = 0, elle est héréditaire, Alors par récurrence elle est vraie pour tout n ≥ 0.
Soit : pour tout n de N, an ≥ 1
2. Étudier les variations de la suite (an ).
1
4
4
4
4
an+1 − an = an + − an = − an + , avec an ≥ 1 soit an+1 − an = (−an + 1) ≤ 0, soit an+1 ≤ an
5
5
5
5
5
La suite (an ) est décroissante.
3. Justifier que la suite (an ) est convergente.
La suite (an ) est décroissante minorée par 1, ALORS elle converge.
. Partie B : On donne la suite (bn ), définie pour tout entier n ≥ 0 par bn = an − 1.
1. Montrer que (bn ) est une suite géométrique. Préciser le premier terme et la raison.
1
4
1
1
1
Pour tout n bn+1 = an+1 − 1 = an + − 1 = an − = bn
5
5
5
5
5
1
(bn ) est géométrique de premier terme b0 = a0 − 1 = 13 − 1 = 12 de raison .
5
2. Exprimer pour tout entier n, bn en
fonction
de
n.
n
1
Pour tout n entier, bn = 12 ×
5
3. Déterminer lim bn . En déduire lim an .
n→+∞
n→+∞
1
0 < < 1, Alors lim bn = 0
n→+∞
5
Pour tout n, an = bn + 1, Par somme lim an = 1
n→+∞