Montrer qu`un point est centre de symétrie d`une représentation

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Centre de symétrie de la courbe représentative d’une fonction
Cf admet le point Ω(a, b) comme centre de symétrie si et seulement si quel que soit le point M
de coordonnées (x, y) appartenant à Cf, son symétrique M’ par rapport à Ω est encore un point
de Cf.
Il est commode de noter a − h l’abscisse de M, h représentant la différence d’abscisses entre Ω
et M. Alors l’abscisse de M’ est a + h.
Ceci posé, dire que Ω est le milieu de [MM’] revient à dire que b est la moyenne de f(a − h) et
f ( a + h) + f (a − h)
f(a + h), c'est à dire
= b, soit f(a + h) + f(a − h) = 2b.
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D’où le :
Théorème
Cf admet le point Ω(a, b) comme centre de symétrie si et seulement si :
Quel que soit le réel h tel que a + h et a − h appartiennent à Df, f(a + h) + f(a − h) = 2b.
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3205nh53 Centre de symétrie.doc/1111
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Exemple
Soit f la fonction définie sur − {2} par f(x) =
x 2 + 2x − 7
.
x−2
Soit la représentation graphique de f :
Celle-ci permet de conjecturer les coordonnées d’un centre de symétrie : le point Ω(2, 6).
Montrons donc que Cf admet le point Ω(2, 6) comme centre de symétrie.
Soit h ∈ * (de sorte que 2 + h et 2 − h soient différents de 2).
( 2 + h ) 2 + 2( 2 + h ) − 7
4 + 4h + h 2 + 4 + 2 h − 7
h 2 + 6h + 1
Alors f(2 + h) =
=
=
.
( 2 + h) − 2
h
h
Pour calculer f(2 − h), il suffit de remplacer h par −h dans l’expression précédente, de sorte
( − h ) 2 + 6( − h ) + 1
h 2 − 6h + 1
que f(2 − h) =
=−
.
−h
h
h 2 + 6h + 1 h 2 − 6h + 1 12h
Alors f(2 + h) + f(2 − h) =
−
=
= 12 = 2 × 6 = 2b.
h
h
h
En conclusion, Cf admet le point Ω(2, 6) comme centre de symétrie.
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