DOMAINE DE DÉFINITION D`UNE FONCTION

DOMAINE DE DÉFINITION D’UNE
FONCTION
Notons D l’ensemble de départ d’une
fonction f et A son ensemble d’arrivée,
D→ A
c'est-à-dire que l’on a :
f : x a y = f ( x)
Noté Df, c’est l’ensemble des x
appartenant à l’ensemble de départ A, pour
lesquels f(x) existe c'est-à-dire est
calculable. D f = { x ∈ D / f ( x) existe} .
Exemple :
R→ R
f : x a f ( x) =
R→ R
f : x a f ( x) =
x
alors D f = [ 0; + ∞ [
PÉRIODICITÉ
On dit qu’une fonction f est T-périodique
si et seulement si :
(i ) "x Î D f , "k Î Z, x + kT Î D f
(ii ) "x Î D f , f ( x + kT ) = f ( x )
1 alors D f = R \ { − 1}
x+ 1
R→ R
alors D f = ∅ !
f : x a f ( x) = ln ( − x )
PARITÉ-IMPARITÉ
On dit qu’une fonction f est paire et alors
Cf admet une symétrie par rapport à l’axe
Oy si et seulement si :
(i ) "x Î D f , -x Î D f
(ii ) "x Î D f , f (-x) = f ( x)
On dit que f est impaire et alors Cf admet
une symétrie par rapport à l’origine O si et
seulement si :
(i ) "x Î D f , -x Î D f
(ii ) "x Î D f , f (-x) = - f ( x)
AXE DE SYMÉTRIE - CENTRE DE
SYMÉTRIE
On dit qu’une fonction f est symétrique par
rapport à l’axe vertical x = a si et
seulement si :
"x Î D f , f (a - x) = f (a + x)
On dit qu’une fonction f est symétrique par
rapport au point C(a ;f(a)) si et seulement
si : "x Î D f , f (a + x ) + f (a - x) = 2 f (a)
INTERVALLE D’ÉTUDE : IE
Si une fonction est paire ou impaire et/ou
périodique et/ou possédant un axe ou un
centre de symétrie, on peut grâce aux
différents éléments de symétrie, réduire le
domaine de définition Df à un intervalle
plus petit.
R→ R
Exemple :
f : x a f ( x) = sin( x )
La fonction f est impaire est 2p périodique et symétrique par rapport à
é pù
p
l’axe x = donc IE = ê0; ú .
êë 2 úû
2