Etudier la spirale d`Archimède définie en coordonnées polaires par

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Etudier la spirale d’Archimède définie en coordonnées polaires par
ρ(θ) = θ .
Domaine de définition
La fonction ρ est définie sur R tout entier. Donc D = R.
Réduction du domaine d’étude
L’application Φ1 : θ 7→ −θ est une bijection de I1 = [ 0, +∞ [ sur I1′ = ] −∞, 0 ] et l’on a
ρ(−θ) = −ρ(θ) .
La courbe est symétrique par rapport à Oy. On l’étudie sur I1 et on complètera par la symétrie
S1 par rapport à Oy.
Dérivée
On a
ρ′ (θ) = 1 .
La dérivée est donc positive.
Tableau de variation
θ
0
ρ′
+∞
+
1 +∞
ρ
0
ρ/ρ′
0
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Passage à l’origine
La courbe passe par l’origine pour θ = 0, elle est alors tangente à Ox.
Branche spirale
Lorsque θ tend vers +∞, il en est de même de ρ(θ) et la courbe possède une branche spirale qui
se déroule.
Points doubles
En raison de la symétrie, les points obtenus pour θ = π/2 + kπ, où k est entier, sont des points
doubles de la courbe.
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Tracé de la courbe
Voici l’arc de courbe tracé entre −6π − π/6 et 6π + π/6. On trace l’arc de courbe obtenu lorsque
θ varie de 0 à 6π + π/6, puis on complète par la symétrie S1 .
6
-
2π